《2012年数字电路复习讲义ch2逻辑函数及其化简》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年数字电路复习讲义ch2逻辑函数及其化简（32页珍藏版）》请在文档大全上搜索。
1、第2章 逻辑函数及其化简第2章 逻辑函数及其化简一、布尔代数一、布尔代数布尔代数的基本运算与：00=0,01=0,10=0,11=1或：00=0,01=1,10=1,11=1非： 0 = 1 , 1 = 0布尔代数的计算公式布尔代数的三个规则1、代入规则2、反演规则3、对偶规则1、代入规则任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。例1： A B= A+BBC替代B利用反演律得ABC= A + BC= A +B + C由此反演律能推广到n个变量：A1 A2 KA n=A1 + A2+K+ A nA1 + A2+K+ A n= A1 A2K
2、A n2、反演规则设x原变量，称x 为反变量将一个逻辑函数 F 进行下列变换：， ；0 1，1 0原变量 反变量， 反变量 原变量。所得新函数表叫做F的反函数，用F表示。例2 F=AB(C+D)(B+C+D)F = AB(C + D)(B + C + D) =A + B + CD + BCD= A + B + CD + CD例3 F=AB+CD(A+BC+D)F = AB + CD(A + BC + D) = AB + CD + A(BC + D)注意：用反演规则求反函数时，不能改变运算次序。3、对偶规则将一个逻辑函数 F进行下列变换：， 0 1，1 0所得新函数表叫做F 的对偶式，用 FD表
3、示。aba +c +b c= a+ bac对偶a (+b)(a+ c)( b+c) =( a +b)(+a) c例4 F=AD+BC+DEFD = (A + D)(B + C(D + E) = (A + D)(B + C + DE)= AB + AC + BD + CD + DE例5 F=A+B+C+DFD =ABCD=AC+BC+D二、逻辑函数（自变量）二、逻辑函数输 x1入 x2变量 xnz1输（因变量）z2出zm变量组合电路逻辑函数（逻辑表）Zi = fn )i = 1, 2,L, m例6 三人表决电路真值表规则：（1） a、b、c同意为1，不同意为0；（2） 议案通过z=1，不通过z=
4、0；（3） 少数服从多数。z = abc +a bc +abc +abcz = ab + ac + bcz = (a+ b +c)(a+ b +c )(a +b + c)( a+ b + c)结论：相同逻辑的真值表是唯一的，但是可以用不同的逻辑表描述。例7 一位二进制全加器xi yiciicoiFASi =xi yi cii+ xiyi cii+ xiyicii+ xiyicii= xi yi ciicoi= xiyi cii+ xiyicii+ xiyicii+ xiyicii= xi yi+ xicii+ yicii的码组A变换成码组B的电路例8 由异或门。（1） 试写出电路的逻辑方程，列
5、出真值表，讨论其逻辑功能，并指出码组B的特性；（2） 如果要把码组B反变换为码组A，试写出相应的逻辑方程组，并用最少的门电路（包含异或门）实现之。答：（1）逻辑方程：B2 =A2真值表B1 =A1 B0 =A0 A2 A1逻辑功能：3位自然二进制码到格雷码变换器。码组B特性：循环性和反射性。（2）码组B反变换为码组A，逻辑方程组A2 =B2A1 =B2B1B0+ B2B1B0+ B2B1B0+ B2B1B0逻辑电路=B2B1 +B2B1=B1 B2=B1 A2A0 =B2B1B0+ B2B1B0+ B2B1B0+ B2B1B0=B2 (B1B0 +B1B0 )+B2 (B1B0 +B1B0 )
6、=B2 (B1 B0 )+B2 (B1 B0 )=B2 B1 B0=B0 A1与或式（积之和表）与最小与或式：逻辑表为几个与项的和称为与或式（有些书上称为积之和表）。最小项：在一个n个自变量的逻辑函数中，最小项是包含着n个变量的一个“与项”，在此“与，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次。最小：当与或式中所有与“最小称为最小。例9z(a, b, c)= ab+ ac= ab(c + c) +a(b +b) c= abc+ abc +abc+ abc或与式（和之积表）和最大或与式：逻辑表为几个或项的积称为或-与式（又称积表）。最大项：在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量的或 项，在此或，
7、每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，此或项称为最大项。最大：当或与式中所有或最大称为最大。例10z(a, b, c)= (a+ b + c)(a + b + c)(a+ b + c)(a+ b + c)真值表和最小项、最大项的逻辑函数的最小项表和最大是唯一的。例11bc+ab + c+abc=Sm(1,3,6,7+ bc+)(+ab +c +)(a+ b+ c) =P最小与最大的例12已知：z(a, b, c, d)= Sm(0,1, 2, 3, 7, 8, 9,10,11,14)有：z(a, b, c, d) = PM(4, 5, 6,12,13,15)z(a, b, c, d)z(a,
8、 b, c, d)= Sm(4, 5, 6,12,13,15)= PM(0,1, 2, 3, 7, 8, 9,10,11,14)三、逻辑图三、逻辑图（由若干逻辑图形符号的电路图）l 与-或式对应的逻辑图z = ab+ ac= ab acl 或-与式对应的逻辑图z=(a+b)(a+c) =(a+b)+(a+c)四、逻辑化简逻辑化简的：l 公式法：直接用布尔代数公式l 图解法：用卡诺图，适用于变量数少于6个的情况。l 计算机辅助化简：如用EWB。四、逻辑化简1. 公式法例13用公式法化简下列逻辑函数z1 =abc+ a + b= bc+ a + b= c + a + bz3 =ab +ac + b
9、c= ab+ (a+ b)c= ab+ abc= ab + c公式法化简的缺点：不直观，要求经验、技巧较高。2. 卡诺图法（1） 真值表与卡诺图三变量情况： 1四变量情况：（2） 表与卡诺图l 与或式与卡诺图BC1=+2=F +B00011A BC 0001110111101F1ABC 000110110011011110F2l 或与式和卡诺图z = (a+ b)(a+ c)(a+ b)（3） 卡诺图化简例14把逻辑函数=)C,D,BA(FS),1420,1,8,1,5,6,43(m化简为最简“与或”式（即积之和表）ABCADACBDBD最简的与或表,B,CF(A,DBC)=AD+CB+BAD
10、D+A例15 F(A,B,C,D)=M(1,6,11,12)CDACDAB00011110001011011ABC110101110111101ABCABCB DACDACDF = BD + ACD + ABC + ACD + ABCACDABCBDF = BD + ACD + ABC + ACD +ABC(4) 未完全规定的逻辑函数及其化简四舍五入电路真值表例16函数自变量的某些输入组合出现，因此，对应的输出可以任意取0或1（记作），这些称为无关项或任意项或约束项。这类函数称为未完全规定的逻辑函数。约束方程：Sd(10,11,12,13,14,15) = 0或PD(10,11,12,13,1
11、4,15) = 1逻辑表：z(b3 , b2 , b1 , b0 )z(b3 , b2 , b1 , b0 )= Sm(5, 6, 7, 8, 9) + Sd(10,11,12,13,14,15)= PM(0,1, 2, 3, 4) PD(10,11,12,13,14,15)逻辑化简：逻辑图z(b3 , b2 , b1 , b0 )= b3+ b2b1+ b2b0例17用卡诺图化简下一逻辑函数成为最之和表（即最简“与或”式）。F(A,B,C,D)=m(0,2,9,11,13)+d(4,8,10,15)BDAD最简的与或表 F(A, B, C, D) = AD + BD例18用卡诺图求出逻辑函数
12、F(A,B,C,D)=M(0,4,5.14.15) D(6,9,10,12,13)的最简与或式及最与式。F=AC+AC(或AB)+BD=(B+C)(A+B)(A+C+D)例19是一奇偶检测电路，其输入信号A3、A2、A1、A0为8421BCD码的一位十进制数，若A3、A2、A1、A0中有偶数 个1，输出Z=1，否则，Z=0。（1） 画出该电路的真值表；（2） 写出该电路的最小；（3） 用卡诺图法求其最简与或表和无逻辑险象的最简答：（1）真值表A3A2A1A0Z000010001000100001110100001011011010111010000100111010x1011x1100x110
13、1x1110x1111x与或表。（2） 最小Z(A3 ,A2 ,A1,A0 )（3） 卡诺图= Sm(0, 3, 5, 6, 9) + Sd(10,11,12,13,14,15)A3A2A1A0A2A1A0A1A0A3A2A1A0A2 A1A0A3A200011110A2A1A0A3A0最简与或表：A2A1A00001A2 A1A0 1110101010xxx01xA3A00A3A2A1A01x xZZ(A,B,C,D)=A3A2A1A0 +A2A1A0 +A2A1A0 +A2A1A0 +A3A0无逻辑险象的最简与或表：Z(A,B,C,D)=A3A2A1A0 +A2A1A0 +A2A1A0 +A3A2A1A0 +A3A0例20：已知：F1(A,B,C,D)=m (0, 1, 3, 5, 8, 10, 11, 13,14)，F2(A,B,C,D)=m(04, 9, 1215), 求：(1) F1+F2的最大(2) F1F2的最小(3) 利用卡诺图，对上述结果进行化简。答：卡诺图化简（略）
