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1、2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共45分）1.设集合 M1，3，5，7，9，Nx2x7 ，则 MN ( ) A.7，9B.5，7，9C.3，5，7，9D.1，3，5，7，9【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：由2x7，得x72 ， 故N=x|x72 ， 则根据交集的定义易得MN=5,7,9. 故答案为：B 【分析】根据交集的定义求解即可.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根
2、据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】 C 【考点】频率分布直方图 【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确； 对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.023+0.04=10%，故B正确； 对于D，由频率分布直方图
3、得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.202=0.640.5，故D正确 故不正确的是C 故答案为：C 【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.已知 （1i）2z=3+2i ，则z=（ ） A.-1- 32 iB.-1+ 32 iC.- 32 +iD.- 32 -i【答案】 B 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：z=3+2i1i2=3+2i2i=3+2ii2ii=2+3i2=1+32i 故答案为：B 【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.下列函数中是增函数的为( ) A.f(x)xB.f(x)(23)xC.f(x)x2D.
4、f(x)3x【答案】 D 【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的判断与证明 【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x0时，y=kx单调递减，故A错误； 对于B，考察函数f(x)=ax ， 易知当0a1时，f(x)=ax单调递减，故B错误； 对于C，考察函数f(x)=x2 ， 易知当x0时，f(x)=x2单调递增，故C错误； 对于D，考察函数fx=x13 ， 易知f(x)=ax单调递增，故D正确. 故答案为：D 【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.5.点 (3，0) 到双曲线 x216y291 的一条渐近线的距离为( ) A.95B.
5、85C.65D.45【答案】 A 【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：y=34x ， 即3x-4y=0， 则所求距离为d=334032+42=95 故答案为：A 【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ 1010 1.259） A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】
6、C 【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质 【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=110 ， 所以V=10110=1101011.2590.8 故答案为：C 【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图 【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示， 则侧视图是 故答案为：D 【分析】根据三视图的画
7、法求解即可.8.在 ABC 中，已知 B120，AC19，AB2 ，则 BC ( ) A.1B.2C.5D.3【答案】 D 【考点】余弦定理，余弦定理的应用 【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120， 即19=4+BC2+2BC 即BC2+2BC-15=0 解得BC=3或BC=-5(舍去) 故BC=3 故答案为：D 【分析】由余弦定理直接求解即可.9.记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和若 S24，S46 ，则 S6 ( ) A.7B.8C.9D.10【答案】 A 【考点】等比数列的性质 【解析】【解答】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列
8、， 即4,2，S6-6成等比数列， 则4（S6-6）=22 解得S6=7 故答案为：A 【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( ) A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8【答案】 C 【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题，排列与组合的综合 【解析】【解答】解： 3个1和2个0随机排成一行 一共有以下10种排法： 11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111 其中 2个0不相邻 共有6种， 所以所求概率为P=610=0.6 【分析】根据古
9、典概型，结合列举法求解即可.11.若 （0,2) , tan2=cos2sin ，则 tan= （ ） A.1515B.55C.53D.153【答案】 A 【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【解答】解：由题意得 tan2=sin2cos2=2sincos12sin2=cos2sin ， 则2sin2sin=12sin2 ， 解得sin=14 ， 又因为 （0,2), 所以cos=1sin2=154 所以tan=sincos=1515 故答案为：A 【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.12.设f(x)是
10、定义域为R的奇函数，且f(1x)f（-x）若 f(13)13，则f(53) ( ) A.53B.13C.13D.53【答案】 C 【考点】奇函数，函数奇偶性的性质 【解析】【解答】解：因为 f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1x)fx)， 所以f53=f1+23=f23=f23=f1+13=f13=f13=13 故答案为：C 【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共17分）13.若向量 a，b 满足| a |3，| ab |5， a b 1，则| b |_ 【答案】 32 【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意
11、义 【解析】【解答】解：由a+b2=a+b2得a22ab+b2=ab2 即9-21+b2=25 解得b=32 故答案为：32 【分析】根据向量的运算法则求解即可.14.己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_ 【答案】 39 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 则底面面积S=r2=36， 则由V=13S=1336=30得=52, 则l=r2+2=62+522=132 故圆锥的侧面积为rl=6132=39 【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.15.已知函数 f(x)2cos(x) 的部分
12、图像如图所示，则 f(2) _ 【答案】 3 【考点】余弦函数的图象 【解析】【解答】解：由题意得34T=13123=34 ， 则T=，=2，所以fx=2cos2x+, 将点1312，2代入得2cos21312+=2 ， 则136+=2+2k ， 则=6+2k，kZ ， 故=6 ， 所以fx=2cos2x6 ， 所以f2=2cos226=2cos56=3 ， 故答案为：3 【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.16.已知F1 ， F2为椭圆C： x216+y24=1 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且 |PQ|=|F1F2| ，则四边形PF1QF2的面积为_。 【答案】 8
13、 【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=12|F1F2|，所以PF1PF2 ， 所以SPF1QF2=2SPF1F2=2b2tanF1PF22=8 故答案为：8 【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共40分）17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量
14、情况统计如下表： 一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： K2=n(adbc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d） 【答案】 （1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是： 150200=34 乙机床生产的产品中一级品的频率是： 120200=35（2）由于 K2=400+(1508050120)2270130200200=4003910.2566.635 所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙
15、机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用 【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可； （2）根据独立性检验的方法直接求解即可.18.记 Sn 为 an 的前 n 项和，已知 an0，a23a1 ，且数列 Sn 是等差数列证明： an 是等差数列 【答案】 数列 Sn 是等差数列，设公差为 d =S2S1=a2+a1a1=a1 Sn=a1+(n1)a1=na1 ， (nN) Sn=a1n2 ， (nN)当 n2 时， an=SnSn1=a1n2a1(n1)2=2a1na1当 n=1 时， 2a11a1=a1 ，满足 an=2a1na1 ， an 的通项
16、公式为 an=2a1na1 ， (nN) anan1=(2a1na1)2a1(n1)a1=2a1 an 是等差数列.【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和 【解析】【分析】由 数列 Sn 是等差数列 ，及 an0，a23a1 ， 即可得到 等差数列 Sn的公差 d =a1,从而得到Sn=a1n2 ， (nN) ， 进一步根据与的关系，以及等差数列的定义，证明 an 是等差数列. 19.已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形 ABBC2，E，F 分别为 AC 和 CC1 的中点， BFA1B1 （1）求三棱锥FEBC的体积； （2）已知
17、 D 为棱 A1B1 上的点，证明： BFDE 【答案】 （1）如图所示，连结AF， 由题意可得： BF=BC2+CF2=4+1=5 ，由于ABBB1 ， BCAB， BB1BC=B ，故 AB 平面 BCC1B1 ，而 BF 平面 BCC1B1 ，故 ABBF ，从而有 AF=AB2+BF2=4+5=3 ，从而 AC=AF2CF2=91=22 ，则 AB2+BC2=AC2,ABBC ， ABC 为等腰直角三角形，SBCE=12sABC=12(1222)=1 ， VFEBC=13SBCECF=1311=13 .（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ABCMA1B1C1M1
18、，如图所示，取棱 AM,BC 的中点 H,G ，连结 A1H,HG,GB1 ， 正方形 BCC1B1 中， G,F 为中点，则 BFB1G ，又 BFA1B1,A1B1B1G=B1 ，故 BF 平面 A1B1GH ，而 DE 平面 A1B1GH ，从而 BF DE .【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（） 连结AF ，通过计算得出AC线段的长度， 得到 AB2+BC2=AC2,ABBC ， 进一步可以计算出 FEBC的体积； （） 由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ， 取棱 AM,BC 的中点 H,G ，连结 A1H,HG,GB1 ， 通过
19、证明 BF 平面 A1B1GH ， 而得到 BF DE.20.设函数 f(x)a2x2ax3lnx1 ，其中a0 （1）讨论f(x)的单调性； （2）若yf(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围 【答案】 （1）函数的定义域为 (0,+) ， 又 f(x)=(2ax+3)(ax1)x ，因为 a0,x0 ，故 2ax+30 ，当 0x1a 时， f(x)1a 时， f(x)0 ；所以 f(x) 的减区间为 (0,1a) ，增区间为 (1a,+) .（2）因为 f(1)=a2+a+10 且 y=f(x) 的图与 x 轴没有公共点， 所以 y=f(x) 的图象在 x 轴的上方，由（1）中函数
20、的单调性可得 f(x)min=f(1a)=33ln1a=3+3lna ，故 3+3lna0 即 a1e .【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系 【解析】【分析】（）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间； （）首先注意到 f(1)=a2+a+10 且 y=f(x) 的图与 x 轴没有公共点这一特点，表明 y=f(x) 的图象在 x 轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于即可， 解不等式，即可得到结果。21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且
21、 M与L相切， （1）求 M的方程； （2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2 ， A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由. 【答案】 （1）依题意设抛物线 C:y2=2px(p0),P(1,y0),Q(1,y0) ， OPOQ,OPOQ=1y02=12p=0,2p=1 ，所以抛物线 C 的方程为 y2=x ，M(0,2),M 与 x=1 相切，所以半径为 1 ，所以 M 的方程为 (x2)2+y2=1 ；（2）设 A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)若 A1A2 斜率不存在，则 A1A2 方程为 x=1 或 x=3 ，若 A1A2
22、 方程为 x=1 ，根据对称性不妨设 A1(1,1) ，则过 A1 与圆 M 相切的另一条直线方程为 y=1 ，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 A3 ，不合题意；若 A1A2 方程为 x=3 ，根据对称性不妨设 A1(3,3),A2(3,3),则过 A1 与圆 M 相切的直线 A1A3 为 y3=33(x3) ，又 kA1A3=y1y3x1x3=1y1+y3=13+y3=33,y3=0 ，x3=0,A3(0,0) ，此时直线 A1A3,A2A3 关于 x 轴对称，所以直线 A2A3 与圆 M 相切；若直线 A1A2,A1A3,A2A3 斜率均存在，则 kA1A2=1y1+y2,kA1
23、A3=1y1+y3,kA2A3=1y2+y3 ，所以直线 A1A2 方程为 yy1=1y1+y2(xx1) ，整理得 x(y1+y2)y+y1y2=0 ，同理直线 A1A3 的方程为 x(y1+y3)y+y1y3=0 ，直线 A2A3 的方程为 x(y2+y3)y+y2y3=0 ，A1A2 与圆 M 相切， |2+y1y2|1+(y1+y2)2=1整理得 (y121)y22+2y1y2+3y12=0 ，A1A3 与圆 M 相切，同理 (y121)y32+2y1y3+3y12=0所以 y2,y3 为方程 (y121)y2+2y1y+3y12=0 的两根，y2+y3=2y1y121,y2y3=3y
24、12y121 ，M 到直线 A2A3 的距离为：|2+y2y3|1+(y2+y3)2=|2+3y12y121|1+(2y1y121)2=|y12+1|(y121)2+4y12=y12+1y12+1=1 ，所以直线 A2A3 与圆 M 相切；综上若直线 A1A2,A1A3 与圆 M 相切，则直线 A2A3 与圆 M 相切.【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程 【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 C:y2=2px(p0), 由对称性，可知 P(1,y0),Q(1,y0) ， 进而由OPOQ, 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程； 由于
25、圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程； （）先设出A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)三点的坐标，分A1A2 斜率不存在及 直线 A1A2,A1A3,A2A3 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。四、选修44：坐标系与参数方程。（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 2 cos. （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C
26、上的动点，点P满足 AP = 2AM ,写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点. 【答案】 （1）由曲线C的极坐标方程 =22cos 可得 2=22cos ， 将 x=cos,y=sin 代入可得 x2+y2=22x ，即 (x2)2+y2=2 ，即曲线C的直角坐标方程为 (x2)2+y2=2 ；（2）设 P(x,y) ，设 M(2+2cos,2sin) AP=2AM ，(x1,y)=2(2+2cos1,2sin)=(2+2cos2,2sin) ，则 x1=2+2cos2y=2sin ，即 x=32+2cosy=2sin ，故P的轨迹 C1 的参数方程为 x=32+2cosy
27、=2sin （ 为参数） 曲线C的圆心为 (2,0) ，半径为 2 ，曲线 C1 的圆心为 (32,0) ，半径为2，则圆心距为 322 ， 32222 ， 两圆内含，故曲线C与 C1 没有公共点.【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程 【解析】【分析】（）先将 =22cos 两边平方 可得 2=22cos ，然后用 x=cosy=sin替换即可得到C的直角坐标方程； （）先 设 P(x,y) 及M (2+2cos,2sin)再由AP=2AM ，建立，与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位
28、置关系。 五、 选修45：不等式选讲（共1题；共2分）23.已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|. （1）画出f（x）和y=g（x）的图像； （2）若f（x+a）g（x）,求a的取值范围. 【答案】 （1）可得 f(x)=|x2|=2x,x2x2,x2 ，画出图像如下： g(x)=|2x+3|2x1|=4,x324x+2,32x0 ，当 y=f(x+a) 过 A(12,4) 时， |12+a2|=4 ，解得 a=112 或 52 （舍去），则数形结合可得需至少将 y=f(x) 向左平移 112 个单位， a112 .【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合 【解析】【分析】（）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图； （）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与f（x）图象的关系），由 f（x+a）g（x）, 确定a的取值范围。
