拉氏变换课件.

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1、 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换补充内容：拉氏变换补充内容：拉氏变换:拉普拉斯拉普拉斯在数学运算中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，在数学运算中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段。如：常常采用一种变换手段。如：要求式子 baf的乘积，那么我们可以通过求 cbabaflglg)lg(lg的方式，然后将所得的结果进行反对数即可。即将乘法运算转换成加法运算。即 cf1lg对于 baf/，是将除法运算转换成减法运算。为什么要进行拉氏变换呢？为什么要进行拉氏变换呢？ 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换回忆高等代数中有关高阶线性微分方程求解问题：按微分方程系数分为：按微

2、分方程系数分为：给定起始点给定起始点x0的以下各个值（的以下各个值（初始条件初始条件）方程右端等于方程右端等于0：齐次方程，否则非齐次方程：齐次方程，否则非齐次方程线形微分和非线性微分方程线形微分和非线性微分方程 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换1.二阶齐次方程求解二阶齐次方程求解 )cossin()(?002121212121221xCxCeyjexCCyeCeCyqpqyypyxxxx2.二阶非齐次方程求解二阶非齐次方程求解 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 )sincos(single)sincos(sin)(.5)sincos(singlesincossinglesin)(.4)(

3、double)(single)()()(.3doublesingle)(.2)(double0)(single0)(0)(.1)(*2*2*2*2*111*xNxMxeyyrootisxNxMeyyroottisnjxAeisxfxNxMxyyrootisxNxMyyroottisnxAisxfexPxyyrootisaexxPyyrootisaexPyyroottisnaexPisxfexyyrootisaxeyyrootisaxeyyroottisnaAeisxfxRxyyrootisxxRyyrootisxRxyyroottisnkxkxkxkisxfyxfqyypyxxaxaxnaxn

4、axnaxnaxaxaxaxnnnnnnn 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换3.高阶齐次方程求解高阶齐次方程求解cos)(sin)()(?0012112112121211111) 1(1)(21xxdxddxxcxccejkexcxcckeCeCeCypppypypypykkkkxxkkkxnxxnnnnnnnnnkn含有重根个有含有重根个有4.高阶非齐次方程求解？高阶非齐次方程求解？ 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换那么，引用拉氏变换也与用对数变换计算数量的乘积和商一样。可以将常微分方程常微分方程变成代数方程代数方程，得到解后，再经过逆变换，才得到真正的解。)()()()()(tkxtx

5、ctkytyctym )()()()(2sXkcssYkcsms拉氏变换后时域复数域从而使运算方便，使系统的分析大大简化。拉氏变换的指导思想。指导思想。 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换1） 复习有关复数和复变函数2） 介绍拉氏变换的定义3） 介绍一些典型时间函数的拉氏变换4） 介绍拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法5） 介绍用拉氏变换解微分方程的方法。本章介绍的内容：本章介绍的内容： 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换1 1 复数和复变函数复数和复变函数1) 1) 复数的概念复数的概念复数复数 js都分别相等。一个复数为零，则实部和虚部均必须为零。1j为虚单位，当两个复数相等时，则实部和虚

6、部称为复数称为复数A的的虚部虚部，表示为，表示为 =ImA其中：其中： 称为复数称为复数A的的实部实部，表示为，表示为 =ReAa aA Ab b0 0+1+1+j+j模模幅角幅角A 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换2) 2) 复数的表示方法复数的表示方法a. 点表示法点表示法( ， )b. 向量表示法（极径）向量表示法（极径）a aA Ab b0 0+1+1+j+j模模幅角幅角A cosAsinA22baA ab tan 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换c.三角表示法和指数表示法三角表示法和指数表示法 jeAA sinjcosAAA （指数式指数式）（三角式三角式） 机械工程控制基础 拉

7、氏变换拉氏变换3) 3) 复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念有复数js，以s为自变量，按某一确定法则构成的函数为复变函数，记作：jvus)G(若)()()()()G(2121nmpspspsszszszsKs则当21,zzs 时，0)G(s21,zz则称为的极点。为，则称时，的零点，当)(,0,)(,0)G(2121sGpppsGppssn 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换引入拉普拉斯变化的目的引入拉普拉斯变化的目的用微分方程描述工程系统控制问题用微分方程描述工程系统控制问题缺点：缺点：因为含有输入变量和输出变量的各阶导数，因为含有输入变量和输出变量的各阶导数，并不能提供系

8、统性能的直观表象并不能提供系统性能的直观表象仅当它的解被求出后才能直观表征：输出变量的特性仅当它的解被求出后才能直观表征：输出变量的特性从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得力工具力工具 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换设函数f(t)满足：1f(t)实函数；2当t0时 ， f(t)=0；3当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛,具有有限个第一类间断点0)(dtetfst则函数则函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；F(s)F(s)称为函数f(t)f(t)的拉普拉

9、氏变换拉普拉氏变换或象函数象函数; ;f(t)f(t)称为F(s)F(s)的原函数原函数；L L为拉氏变换的符号。2 2 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换几种典型环节的拉氏变换：几种典型环节的拉氏变换：1 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数0100)(tttuLaplace变换s10)()(dtetfsFstsestdetdetutuLsFtststs11)()()(000 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换2 2、单位脉冲函数、单位脉冲函数000)(tttLaplace变换1dt)(且满足t0001)()()()(tdtetdettLsFttsts 机械工程控制基

10、础 拉氏变换拉氏变换3 3、单位斜坡（单位速度）、单位斜坡（单位速度）000)(ttttfLaplace变换21s 0dttetLsFstsdteseststst21100 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换1) 线性性质)()()()()()(221122112211sFksFktfLktfLktfktfkL拉氏变换的性质拉氏变换的性质)()()()(2211sFtfsFtf 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换) 延时定理F(s)etfLetdetfetdetftdetftdetftdetfdteatfattdteatfatfsasat ssaatsatsatsaatsastst)()()(

11、)()()()()()(L0)(0)(0)(0)(00令：原函数平移原函数平移 a a 像函数乘以像函数乘以 e e-a-as s )()(sFeatfLas 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换) 周期函数的拉氏变换dtetfetfLstTsT0)(11)(设设 tfnTtfTtf，则的周期为证略证略 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换证明：证明：4) 复数域的位移定理（衰减定理）a)F(sdtf(t)edtf(t)eef(t)Le0a)t(s0statat)()(asFtfeLat原函数乘以指数函数原函数乘以指数函数e e-at-at像函数在复数域中作位移像函数在复数域中作位移a a 机械工

12、程控制基础 拉氏变换拉氏变换5) 时间尺度定理（相似定理）)(1)(asFaatfL)()(asaFatfL 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换)0()()()(0fssFdtetftfLst6) 微分定理)0()0()()()1(1)(nnnnffssFstfL)()()(sFstfLnn当初始条件为当初始条件为0，即：，即：0)0()0()0()0()1( nffff 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换f(0)sF(s)dtef(t)s)(f(0)f(t)d(ef(t)ed(f(t)edte(t)f(t)fL0st0st0st0stst0证明：证明： 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换原函

13、数的高阶导数原函数的高阶导数 像函数像函数中中s s的高次代数式的高次代数式 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换7) 积分定理( 1)011( ) ( )(0 )tLf t dtF sfss0( )( ) tF sLf t dts如果如果( 1)(0 )0f证明：证明： 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换( 1)()1000111( )() ( )(0 )(0 )tttnnnnLf t dtF sffsss )(1)( )(000sFsdttfLnnttt 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换8) 8) 初值定理初值定理)(lim)(lim) 0(),()(0ssFtffsFtfLst则若 机械

14、工程控制基础 拉氏变换拉氏变换初值定义证明初值定义证明0)(lim0dtetfsts证明：证明：)0()()(fssFtfL 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换9) 9) 终值定理终值定理)(lim)(lim),()(0ssFtfsFtfLst，则若 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换10) 的拉氏变换)()(sFdsdtftL)(tft11) 的拉氏变换sdssFttfL)()(tf(t) 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换12) 卷积定理的卷积和称为)()(, )(*)()()(0tgtftgtfdgtfttsGsFdgtfLsGtgLsFtfL0)()()()()()()()(则有，若

15、机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换5 5 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法)()(tfsF适用于比较简单的象函数。根据拉氏反变换公式。通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数。 查表法有理函数法部分分式法 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换)()()()()()()(2121011011nnnnnnmmmmpspspszszszsKasasabsbsbsAsBsF为：的有理代数式，可表示是复数ssF)(mn 将上式化为部分分式之和，有2种情况：1.1. F(s)F(s)无重极点的情况；无重极点的情况；2.2. F(s)F(s)有重极点的情

16、况。有重极点的情况。 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换一、一、F(s)F(s)无重极点的情况无重极点的情况),()()()()()()(212211为代定系数nnnKKKpsKpsKpsKsAsBsF1)()()(11pspssAsBK2)()()(22pspssAsBKipsiipssAsBK)()()( 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换求下列公式的拉求下列公式的拉氏逆变换氏逆变换2tt12s21s121e2eF(s)2)(s11)(s2F(s)-12)(s2)1)(s(s3sc21)(s2)1)(s(s3sc2)(sc1)(sc2)1)(s(s3sF(s)L)2s)(1s (3s) s

17、 (F例题分析例题分析 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换二、F(s)有重极点的情况假设F(s)有r个重极点p1,其余极点都不相同，则nnrrrrrnrrnpsKpsKpsKpsKpsKpspspsasBsAsBsF1111111211111)()()()()()()()()()(1)(111psrpssFK1)(112psrdspssFdK1)()!1(11111psrrrrpssFdsdrK 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换)3()2(1)(3ssssF求求拉氏逆变化拉氏逆变化41)2()3()2(121)2()3()2(123322331ssssssdsdcssssc3)2()2()2

18、()(5432231scscscscscsF83)2() 3()2(1! 21233223sssssdsdc 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换31)3()3()2(1241)3()2(1335034sssssscssssc 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换tttttttteeetettfeeteettfssssssF322223222223312418344)(3124183414)(31311241) 2(183) 2(141) 2(121)( 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换欧拉公式：欧拉公式：)(21cos)(21sinsincostjtjtjtjtjeeteejttjte 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换欧拉公式：欧拉公式：)(21cos)(21sinsincostjtjtjtjtjeeteejttjte 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换 机械工程控制基础 拉氏变换拉氏变换