补1：二重积分的应用之曲面面积

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1、一、平面方程平面方程三、曲面面积三、曲面面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面面积的计算 二、曲面的切平面与法线平面与法线zyxo0Mn（一）平面的（一）平面的点法式点法式方程方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称上式为平面的点法式方程点法式方程,则该平面的方程为：法向量.量, ),(CBAn 的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、平面方程一、平面方程1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz过三点(,) (1,2,3)kkkkMxyzk 的平面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、 （二）平面的（二）平面的三点式三点式方程方程当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cba平面方程为 PozyxRQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 （三）平面的（三）平面的截距式截距式方程方程（四）平面的（四）平面的一般一般方程方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(22

3、2CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA补：补： 设222000CBADzCyBxAd是平面到平面的距离d .0P(点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 :( , , )0F x y z二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面000(,)M xyz为其上定点。MT机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面，此平面称为 在该点的切平面切平面.曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程000 xxyyzz

4、0000(,)()xF xyzxx0000(,)()yF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz切平面方程切平面方程000(,)xF xyz000(,)yF xyz000(,)zF xyzMTn000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyz复习 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面:( , )zf x y切平面方程切平面方程法线方程法线方程 显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 (,1)xynff ,:为法线与各坐标轴的夹角,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2211cosyxff)( ),

5、()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyxMAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 DyxyxfzS),( , ),(:),(zyxMxyzSoMndAdcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzx

6、zADdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygxzyzxyxAdd)()(122zyD若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),( , ),(xzDxzxzhyxzxyzyAdd)()(122,0),(zyxF且0,zF yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDzzyxFFFF222yxddzxD例例. 计算双曲抛物面被柱面所截解解: : 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxz 222Ryx,:222RyxDyxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R