第十一章 相关分析

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1、职教学院 刘春雷E-mail：教育统计学12第十一章 相关分析第一节第一节 相关的意义相关的意义第二节第二节 积差相关积差相关第三节第三节 等级相关等级相关第四节第四节 质与量的相关质与量的相关第五节第五节 品质相关品质相关3第一节 相关的意义平均数、标准差是对平均数、标准差是对单变量单变量进行描述的特征量。进行描述的特征量。若对若对两个变量两个变量之间变化关系进行描述，需要用之间变化关系进行描述，需要用相关量相关量。例如：智力与学习成绩的关系；某一试题的得分与试卷总分例如：智力与学习成绩的关系；某一试题的得分与试卷总分之间的关系。之间的关系。4一、相关的概念一、相关的概念相关关系相关关系两个

2、变量之间两个变量之间不精确不精确、不稳定不稳定的变化关系称为相关关系。的变化关系称为相关关系。函数关系函数关系两个变量值是一一对应、精确稳定的变化关系。两个变量值是一一对应、精确稳定的变化关系。两个变量间的变化关系，表现在：两个变量间的变化关系，表现在：变化方向上变化方向上密切程度上密切程度上第一节 相关的意义5一、相关的概念一、相关的概念变化方向：变化方向：1、正相关正相关两个变量的变化两个变量的变化方向一致方向一致，即一个变量值变，即一个变量值变大（小）时，另一个变量值也随之变大（小）。大（小）时，另一个变量值也随之变大（小）。如：智商与学习成绩的关系（在非智力因素相同的情况下）。如：智商

3、与学习成绩的关系（在非智力因素相同的情况下）。2、负相关负相关两个变量的变化两个变量的变化方向相反方向相反，即一个变量值变，即一个变量值变大（小）时，另一个变量值也随之变小（大）。大（小）时，另一个变量值也随之变小（大）。如：解题能力与解题时间长短的关系。如：解题能力与解题时间长短的关系。3、零相关零相关（无相关）（无相关）两个变量值变化方向无一定规律，两个变量值变化方向无一定规律，即一个变量值变大时，另一个变量值可能变大也可能变小，即一个变量值变大时，另一个变量值可能变大也可能变小，并且变大、变小的机会趋于相等。并且变大、变小的机会趋于相等。第一节 相关的意义6一、相关的概念一、相关的概念密

4、切程度密切程度无论两个变量的变化方向是否一致无论两个变量的变化方向是否一致1、强相关（高度相关）、强相关（高度相关）密切程度高；密切程度高；2、中度相关、中度相关密切程度一般；密切程度一般；3、弱相关或低度相关、弱相关或低度相关密切程度弱。密切程度弱。第一节 相关的意义7二、相关系数二、相关系数用来描述两个变量之间变化用来描述两个变量之间变化方向方向及及密切密切程度的数字特征程度的数字特征量称为量称为相关系数相关系数。用。用r表示。表示。取值范围取值范围 -1到到+1之间，即之间，即0|r|1。正负号及绝对值的大小正负号及绝对值的大小表明两个变量之间变化的表明两个变量之间变化的方向方向及及密切

5、程度密切程度。r=1 完全正相关完全正相关r=-1完全负相关。完全负相关。第一节 相关的意义8二、相关系数二、相关系数相关系数的值，仅仅是一个相关系数的值，仅仅是一个比值比值。不是由相等单位度量而来，即不是由相等单位度量而来，即不等距不等距，也不是百分比，也不是百分比，因此，因此，不能不能直接作加、减、乘、除运算。直接作加、减、乘、除运算。相关系数只能描述两个变量之间的变化相关系数只能描述两个变量之间的变化方向方向及及密切密切程度，程度，并并不能不能揭示两者之间的内在揭示两者之间的内在本质联系本质联系。存在相关的两个变量，也存在相关的两个变量，也不一定不一定存在因果关系。存在因果关系。第一节

6、相关的意义9一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围1、积差相关的概念、积差相关的概念当两个变量都是当两个变量都是正态连续正态连续变量，而且两者之间呈变量，而且两者之间呈线性线性关关系时，表示这两个变量之间的相关称为系时，表示这两个变量之间的相关称为积差相关积差相关。2、积差相关的适用条件、积差相关的适用条件第一，两个变量第一，两个变量都都是由测量获得的是由测量获得的连续连续性数据。性数据。第二，两个变量的总体第二，两个变量的总体都都呈呈正态正态分布，或接近正态分布，至分布，或接近正态分布，至少是单峰对称的分布（判断总体是否呈正态分布可用卡方检少是单峰对称的分布（判断总体是否呈正态分布可用卡方

7、检验）。验）。第二节 积差相关102、积差相关的适用条件、积差相关的适用条件第三，必须是第三，必须是成对成对数据，而且数据，而且每对每对数据之间相互数据之间相互独立独立。第四，两个数据之间呈第四，两个数据之间呈线性线性关系（可由相关散布图的关系（可由相关散布图的形状形状来来决定）。决定）。第五，要第五，要排除共变因素排除共变因素的影响。例如，不能用智力不同的学的影响。例如，不能用智力不同的学生的学习成绩来考查两门学科之间的相关情况。生的学习成绩来考查两门学科之间的相关情况。第六，样本容量第六，样本容量n30，计算出的积差相关系数才具有有效意，计算出的积差相关系数才具有有效意义。义。第二节 积差

8、相关11一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围3、积差相关系数的定义公式、积差相关系数的定义公式协方差协方差是两个变量离差乘积之和除以是两个变量离差乘积之和除以n所得之商。所得之商。第二节 积差相关nYYXXCOV协方差是积差相关系数的基础。协方差是积差相关系数的基础。离差乘积之和的大小，能反映两个变量之间的关系。离差乘积之和的大小，能反映两个变量之间的关系。两个离差乘积和为两个离差乘积和为正正，且数值较大，说明两个变量的，且数值较大，说明两个变量的变化方向一致，且关系密切；变化方向一致，且关系密切；两个离差乘积和为两个离差乘积和为负负，且数值较大，说明两个变量的，且数值较大，说明两个变量的

9、变化方向相反，但关系密切；变化方向相反，但关系密切；两个离差乘积和趋于两个离差乘积和趋于0 0，说明，说明无相关无相关。12一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围3、积差相关系数的定义公式、积差相关系数的定义公式但但协方差协方差是带有具体单位的是带有具体单位的绝对绝对数量，数量，不能与单位不同的资料相比较。不能与单位不同的资料相比较。为使协方差变成为使协方差变成相对相对数，数，可将两个离差除以相应的可将两个离差除以相应的标准差标准差，使之变成两个使之变成两个标准分标准分数，数，然后将两个标准分数的乘积之和除以然后将两个标准分数的乘积之和除以n，便为积差相关，便为积差相关系数系数r。第二节 积

10、差相关13一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围3、积差相关系数的定义公式、积差相关系数的定义公式积差相关系数积差相关系数就是两个变量就是两个变量标准分数标准分数乘积之和除以乘积之和除以n所得之商。所得之商。第二节 积差相关YXYXnYYXXnYYXXrX XX X变量的样本标准差变量的样本标准差Y YY Y变量的样本标准差变量的样本标准差14二、积差相关系数的计算方法二、积差相关系数的计算方法1、用原始数据计算、用原始数据计算第二节 积差相关nYYnXXnYXXY/r2222XYXYX X与与Y Y两个变量每对观察值的乘积之和两个变量每对观察值的乘积之和X XX X变量的观察值的总和变量的

11、观察值的总和Y YY Y变量的观察值的总和变量的观察值的总和X X2 2X X变量的观察值平方之和变量的观察值平方之和Y Y2 2Y Y变量的观察值平方之和变量的观察值平方之和15表表11.4 10个学生初一（个学生初一（X）与初二（）与初二（Y）数学分数积差相关系数计算表）数学分数积差相关系数计算表第二节 积差相关序号序号XYX2Y2XY174767427627476271757127527175372717227127271468706827026870576767627627676673797327927379767656726526765870777027727077965626526