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1、1 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例第三章 扭 转 1 1 概概 述述 2 2、汽车构件中的扭转、汽车构件中的扭转3 3、机器中的传动轴工作时受扭。、机器中的传动轴工作时受扭。4 4、工程构件工作时受扭、工程构件工作时受扭变形特征变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。受力特征受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。二、扭转的概念二、扭转的概念主要发生扭转变形的杆主要发生扭转变形的杆轴轴( (圆轴圆轴) )。一、一、薄壁圆筒薄壁圆筒横截面上的应力横截面上的应力0
2、101rt , r0：为平均半径）(壁厚壁厚2 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转注意红线的含义:圆周线、纵向线1 1、实验：、实验：2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线纵向线仍为直线，只是倾斜了同一个角度仍为直线，只是倾斜了同一个角度 ，小方格变成了平行四边形，小方格变成了平行四边形。结论：结论：, 0000横截面上横截面上可认为：可认为：薄壁圆筒薄壁圆筒横截面上的应力横截面上的应力切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布, , 且方向垂直于其半径方向。且方向垂直于其半径
3、方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,Dt DtMenndA nnMeT 扭矩TrdAA AAdA r0r0r 02 r 202 rT 02AT薄壁圆筒横截面上的切应力计算式薄壁圆筒横截面上的切应力计算式3 3、薄壁圆筒的内力分析以及应力计算、薄壁圆筒的内力分析以及应力计算（截面法分析内力的合力的类型和方向截面法分析内力的合力的类型和方向）llr0做薄壁圆筒的扭转试验可得trMe202一方面,pG)1 (2EG在弹性范围内在弹性范围内切应力切应力与与切应变切应变成正比关系成正比关系剪切虎克定律剪切虎克定律另一方面：Me正比于切变模量切变模量在几何上右右
4、图图m)(N954910303nPnPMe30)(nMMdtdMdtMddtdWPeeee一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算 设：设：轴的转速轴的转速 n 转分转分 (r(rmin) min) ，其中其中某一轮传输的功率某一轮传输的功率为：为： P 千瓦千瓦( KW ） 实际作用于该轮的外力偶矩实际作用于该轮的外力偶矩 Me ，则，则3 3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩- -扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图分清轮子、轮轴、轴承圆轴受扭时其横截面上的圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩内力偶矩称为称为扭矩扭矩，用符号，用符号T 表示。表示。eMT 11TTMe Me AB11BMe AMe 11x二、扭转杆
5、件的内力二、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图1 1、扭转杆件的内力扭转杆件的内力（截面法分析内力的合力的类型和方向截面法分析内力的合力的类型和方向）2 2、扭矩的符号规定、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向与截面的外法线方向相同与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为，则扭矩规定为正值，反之为负值。负值。T+T-双矢量表示法3 3、扭矩图：、扭矩图：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。扭矩图扭矩图
6、作法：类比轴力图作法：类比轴力图图示圆轴中， M16M M2M M32M M43M 画扭矩图。M3 M1 M2 M4 ABCD6M 5M 3M 一计算各轮上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31MmkN78. 4mN)1001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M解：解：M1 M2 M3 M3 ABCD 例例 2一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为：，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 15
7、0kW， P4= 200kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 二、分别计算各段的扭矩二、分别计算各段的扭矩mkN78. 421MTm9.56kN322MMTmkN37. 643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩图扭矩图Tmax = 9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)mkN78. 41Tm9.56kN2TmkN37. 63TmxMTA mlMA （m m单位长度内的扭转力偶矩）单位长度内的扭转力偶矩）例例3 3 试作出图示给定坐标轴的杆件的扭矩
8、图试作出图示给定坐标轴的杆件的扭矩图)(xlmT 1、求约束反力（?是否必须）2、截面法求扭矩如果让你自己建立坐标系呢？一、一、薄壁圆筒薄壁圆筒横截面上的应力横截面上的应力0101rt , r0：为平均半径）(壁厚壁厚2 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转注意红线的含义:圆周线、纵向线1 1、实验：、实验：2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线纵向线仍为直线，只是倾斜了同一个角度仍为直线，只是倾斜了同一个角度 ，小方格变成了平行四边形，小方格变成了平行四边形。结论：结论：,
9、0000横截面上横截面上可认为：可认为：薄壁圆筒薄壁圆筒横截面上的应力横截面上的应力切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布, , 且方向垂直于其半径方向。且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,Dt DtMenndA nnMeT 扭矩TrdAA AAdA r0r0r 02 r 202 rT 02AT薄壁圆筒横截面上的切应力计算式薄壁圆筒横截面上的切应力计算式3 3、薄壁圆筒的内力分析以及应力计算、薄壁圆筒的内力分析以及应力计算（截面法分析内力的合力的类型和方向截面法分析内力的合力的类型和方向）llr0做薄壁圆筒的扭转试验可得trMe20
10、2一方面,pG)1 (2EG在弹性范围内在弹性范围内切应力切应力与与切应变切应变成正比关系成正比关系剪切虎克定律剪切虎克定律另一方面：Me正比于切变模量切变模量在几何上几何上 ？应力与内力间的关系 ？一、一、等直圆杆（圆轴等直圆杆（圆轴- -实心）实心）扭转时横截面上的应力扭转时横截面上的应力一）、几何关系一）、几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律1 1、实验：、实验： 4 等直圆杆扭转时的应力.强度条件红线的含义圆周线纵向线观察变形规律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，圆周线只是绕轴线转形状、大小、间距不变，圆周线只是绕轴线转动了一个不同
11、的角度。动了一个不同的角度。（相对扭转角）（相对扭转角）纵向线纵向线倾斜了倾斜了同一个角度同一个角度，小方格变成，小方格变成了平行四边形。了平行四边形。（切应变）（切应变）等直圆杆的扭转平面假设等直圆杆的扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小以及间距不变，半径仍为直线。刚性平面、大小以及间距不变，半径仍为直线。刚性平面绕轴转动绕轴转动。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力00（1）00（2）因为同一圆周上因为同一圆周上剪（切）应变剪（切）应变相同，所以相同，所以同一圆周上切应力同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其大小相等
12、，并且方向垂直于其半径方向。半径方向。推广到任意半径圆推广到任意半径圆周周几何上：剪（切）应变规律几何上：剪（切）应变规律dxRddxDDtgtgxdddxdd取取微段微段微段扭转微段扭转变形变形 d D圆周线上切应变半径上切应变bcd楔形体楔形体O1O2ABCD 为为研究对象研究对象dxd二）物理关系二）物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律PmaxG满足剪切胡克定律 GdxdG同截面切应力同截面切应力大小线性变化方向垂直于半径大小线性变化方向垂直于半径d / / dx相对相对扭转角沿杆长度的变化率扭转角沿杆长度的变化率弹性范围内弹性范围内dxd单位长度扭转角
13、 )1 (2EG切变模量26判别下面截面上剪应力分布是否正确。T aT bT cT d三）静力关系：三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式应力的计算公式ATAdAIApd2xGI Tpdd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pIT可求：线弹性（等直圆杆）圆轴扭转时横截面上任一点可求：线弹性（等直圆杆）圆轴扭转时横截面上任一点pGITx dd AxGAddd2扭转变形计算式扭转变形计算式截面的极惯性矩Ip剪（切）应力计算式剪（切）应力计算式令dA横截面上横截面上 maxmaxmaxPPITIT（抗扭截面模量抗扭截面模量）扭转截面系数）扭
14、转截面系数整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：PWTmaxmaxI Ip p截面的极惯性矩（面积的截面的极惯性矩（面积的2 2次矩）次矩），单位：，单位：二、等直圆杆（圆轴二、等直圆杆（圆轴) )中中max的确定的确定44, mmm.,33mmm单位单位：maxpPIW PWpITPWTmax三、圆截面的极惯性矩三、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：实心圆截面：Odd16,323p4pdWdI223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2
15、dA4432dD 44132DDdDdOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33p16dDW16132143p44pDWDI31解:4338 .011616 DdWWpbpa1921693718011334. dD955.15115.018 .01192.1114422222DdQQba839. 0192. 118 . 01444DdGIGIPbPapWTdD(a)(b)3-2 材料及长度相同的两根圆轴，一根为实心圆轴，直径为d，一根为空心圆轴，内外径比值0.8，外径为D，求它们受扭时，具有相同最大切应力（相同强度时）的重量比及刚度比。重量比刚度比 平衡吗？平衡吗？从受扭的圆杆表面处截取
16、一微小的正六面体从受扭的圆杆表面处截取一微小的正六面体单元体单元体zyddzxddMe Me xyzabOcddxdydz0yF0zM0 xFyzxxzydddddd?存在存在得得切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小应力总是成对出现，并且大小相相等，等，方向同时指向或同时背离两方向同时指向或同时背离两个面的交线个面
17、的交线。试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。切应力是否正确。kN10kN20kN10kN20TT斜截面的应力AAefsindA cosdAdA xn ef0 F 0cossinsincos dAdAdA0 F0sinsincoscos dAdAdA 2sin 2cos 2sin 2cos讨论:045 max450045 min450maxmin0045 0045 00000max00低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的螺旋线断开。的螺旋线断开。 材料抗
18、拉能力差，构件沿材料抗拉能力差，构件沿4545斜截面因拉应斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。力而破坏（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，构件材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；塑性材料）；1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: : .)1 (16,16433空心空心实心实心DDWPPWTmaxmax PWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外荷载）确定外荷载: :maxTPWeM七、七、 强度条件强度条件max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截
19、面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度MPa8 .64mm12016mmN102236MP
20、a80即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）例例 已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。解：解：1. 确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径 316dT 316 Td mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxdT 2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1 (161643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68Dd mm 68 mm 76 dD，取：取：3. 重量比较重量比较%5 .394)(4222ddD空心轴远比空
21、心轴远比实心轴轻实心轴轻43p116DW1 1、扭转变形、扭转变形dxGITLP扭转角单位：弧度（扭转角单位：弧度（radrad） GIP抗扭刚度抗扭刚度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT单位长度扭转角单位长度扭转角mrad一、一、 扭转杆的变形计算扭转杆的变形计算扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴PGITdxd各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴3-5 3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件相对扭转角相对扭转角- -两个端面两个端面2 2、刚度条件：、刚度条件： maxmaxPGIT 0maxmax180PGIT3 3、刚度条件应用：、刚度条件应
22、用：1)1)、校核刚度、校核刚度； max max pGTI 3)3)、确定外荷载、确定外荷载: :2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸: : maxpGITmm例例3-53-5 已知：已知：MA = 955 N.m， MB = 1592 N.m， MC = 637 N.m，Ip= 3105 mm4，lAB = 300mm， lBc = 500mm ,G = 80 Gpa，轴的直径为，轴的直径为70mm， AC？mN9551AMTmN 3762CMTrad 101.523-p1GIlTABrad 101.693-p2GIlTCBBCABACrad 107 .11069.1101.52-4-3-
23、3 例3-6 例题3-1中传动轴由45号钢制成，已知空心轴内外径之比d/D1/2，许可单位扭转角为0.3（。）/m,试按强度和刚度条件设计此轴的外径D。G80GPa，40MPa。43116 DWP maxTWP max43116TD 34max116TDmm109 max pGTI 44132D .5mm12511803244maxGTD 6 等直圆杆扭转时的应变能 xyzdxdzdy dxdydzdW 21单元体外力作功dxdydz 21 dVdW 应变能密度dVdVv dxdydzdxdydz 21 21等直圆杆扭转时的应变能VdVvV l AdAdxv v 21 G l AdAdxGV2
24、2 PIT APdAITGl222 PGIlT22 7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形自由扭转：非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。约束扭转：横截面可以自由翘曲。横截面的翘曲受到限制。横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力角点切应力等于零角点切应力等于零 边缘各点切应力沿边缘各点切应力沿切线方向切线方向最大切应力最大切应力 发生在发生在长边中点长边中点Tmax 1 tWTmax 2hbWttGIT 3hbItmax1分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：3max16dTWTP 34040016mmmN MPa9 .31矩形杆：32060mmmmbh查表：0.8013
25、maxbT 320801. 0400mmmNMPa4 .62分别计算两杆截面面积圆杆：221260440mmmmA 矩形杆：2212002060mmmmA矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。轴向拉压扭 转内力分量内力分量轴力FN扭矩T应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分量强度条件应力分量AFN PIT maxmaxPWT强度条件 maxmaxAFNPWTmax 变形公式EALFLNPGITL EAFN PGIT 位移截点或截面的线位移截面的角位移刚度条件 EAFN 0180PGIT应变能EALFVN22 21vPGILTV22 21v
