材料力学第六章

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1、Mechanics of Materials材料力学编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社材料力学第三版 （主编袁海庆）6 弯曲应力弯曲应力编制：邹思敏审定：袁海庆配套教材：武汉理工大学出版社材料力学第三版 （主编袁海庆）6.1 梁横截面上的正应力6.2 梁横截面上的切应力6.3 梁的强度条件6.4 梁的合理截面6.5 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心6.6 考虑材料塑性时梁的极限弯矩6 弯曲应力弯曲应力6.1 梁横截面上的正应力 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力）。 在横向力的作用下，一般说来，梁的横截面上既有弯矩在横向力的作用下，一般说来，梁的

2、横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力横截面上既有正应力又有剪应力），称），称为横力弯曲。为横力弯曲。6.1.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力.纯弯曲的概念纯弯曲的概念.纯弯曲梁横截面上的正应力公式纯弯曲梁横截面上的正应力公式）对变形几何关系的观察实验：）对变形几何关系的观察实验：横向线仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。 纵向线由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。变形规律变形规律mmnnMMmmnn.纯弯曲梁横截面上的正应力公式纯弯曲梁横截面上的正应力公式）对变形几何关系的观察实验：）对变形几何关系的观察实验：mmnnM

3、Mmmnn基本假设基本假设（1）梁横截面变形后仍保持为一平面，且仍与弯曲后的梁轴线正交，只是象刚性平面一样绕其上的某轴转动了一个角度。 平面假设（2）梁是由一层层纵向纤维组成的。梁变形后，靠近凹边纤维缩短，靠近凸边纤维伸长，且各纵向纤维之间无挤压。梁的中性层：长度无改变的纤维层。截面的中性轴：中性层与截面的交线。（）根据几何关系建（）根据几何关系建立纵向线应变关系：立纵向线应变关系：(a) . ydddy)(ymmnn1K2K1dmmnnK1mmnndxoo1yK2）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy1121OOOOKKxxKKdd21（）根据几何关系建（）根据几何关系建立纵向线应变关

4、系：立纵向线应变关系：(a) . ymmnn）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy+（）引入虎克定律建立（）引入虎克定律建立应力关系：应力关系：(b) . yEE（）运用静力学关系建立应力与（）运用静力学关系建立应力与内力的关系：内力的关系：）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy+ANdAFAAAyEAyEdd面积矩为 0，表明中性轴 z 轴为形心轴。0zASydA即有中性轴位置确定中性轴位置确定（）运用静力学关系建立应力与（）运用静力学关系建立应力与内力的关系：内力的关系：）正应力公式推导：）正应力公式推导：yKzy+AdAyMydAyEMA梁变形曲率计算公式Z1EIMzIMy正

5、应力公式正应力公式 yEAdAyE2zIE截面上的最大正应力与截面模量：截面上的最大正应力与截面模量：）正应力公式推导：）正应力公式推导：zymaxy+zIMymaxmax抗弯截面模量抗弯截面模量令maxyIWzZzWMmaxzhb6212223zbhhbhhIWzd32264234zDDDDIWz6.1.2 横力弯曲时梁横截面上正应力 的计算工程中常见的梁弯曲是横力弯曲工程中常见的梁弯曲是横力弯曲 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。例例6.16.1 设例题设例题5.75.7中梁由中梁由101

6、0号工字钢制成，求号工字钢制成，求B B 截面上截面上的最大正应力和该截面腹板的最大正应力和该截面腹板部分的最大正应力。部分的最大正应力。MPa6 .81Pa106 .81104910663ZmaxWMMPa0 .69Pa100 .69108 .245104 .421046833ZcIyMCC 2kN/mABC4m4m 1kN44 kNm43cm8 .245,cm49zzIW解：解： 查表得：查表得：mm4 .426 . 721002thyCCycth6.2 梁横截面上的切应力cdnmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1FFQFQMM+dMmnmnmncddFdx*2F*

7、1Fmmnndxx6.2.1 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力假设：假设：（） 距中性轴距离相同的各点切应力大小相等（即切应力沿截面宽度均匀分布）。FQFQMM+dMmnmnmmnndxx用相互平行的两个横截面m-m、n-n截下一段作为研究对象。dx（） 各点处切应力的方向与截面侧边平行。xFQFQMM+dM问题：求到中性轴距离为y 的cd 线处切应力。nmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1F*1d*AFA*1d*AIMyAz*1*1d*AyIMFAzy1mncddFdx*2F*1F2cdmnmn2*d*AFA*1dd*AyIMMAz*1*2dd*AyIMMFAzy

8、1yx1、切应力公式以cd 以下部分为脱离体：FQFQMM+dMnmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1FmncddFdx*2F*1F2cdmnmn2xbFdd 0XFFFd*20dddd*1*1*xbAyIMAyIMMAzAz*1ddd1*AyxMbIAzbISFzzQy1y横截面上cd线以下部分对中性轴的面积矩。z问题：求到中性轴距离为y 的cd 线处切应力。1、切应力公式以cd 以下部分为脱离体：AFQ23max)4(222yhIFzQ矩、矩形截面剪应力的分布：*1*d*AySAz1*ddybA121*dybyShyz)4(222yhbzyhbQF1yQFmaxbI

9、SFzzQ抛物线分布6.2.26.2.2、工字形截面梁的切应力、工字形截面梁的切应力dISFyzzw*Q)(假设假设 : : 平行于腹板侧边，平行于腹板侧边，并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布、腹板切应力按矩形截面计算距中性轴距离为距中性轴距离为y y的横线以外部分的横线以外部分的横截面积对中性轴的静矩的横截面积对中性轴的静矩*zSdISFzz*maxQmax半个横截面面积对中性轴的静矩半个横截面面积对中性轴的静矩*maxzSd2、横截面上最大切应力翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。例例6.26.2 简支梁由简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横号工字钢制成。试求

10、最大切应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处截面上翼缘与腹板交界处c c点的切应力。点的切应力。B5 m10 mAF=150kN CFA FB 12.521166zc解：解： 作剪力图，知最大剪力为：作剪力图，知最大剪力为：+75kN75kNkN75maxQF查型钢表得查型钢表得m1073.472*zzSI4cm65600zI例例6.26.2 简支梁由简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横号工字钢制成。试求最大切应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处截面上翼缘与腹板交界处c c点的切应力。点的切应力。 12.521166zc解：解：（）最大切应力：（）最大切应力：kN75maxQFm107

11、3.472*zzSIdISFzzQmaxmaxdSIFzzQmaxMPa6 .12105 .121073.477500032例例6.26.2 简支梁由简支梁由56a号工字钢制成。试求最大切应力和同一横号工字钢制成。试求最大切应力和同一横截面上腹板部分与翼缘交界处截面上腹板部分与翼缘交界处c c点的切应力。点的切应力。 12.521166zc解：解：（）腹板上与翼缘交界处（）腹板上与翼缘交界处c点切应力：点切应力：kN75maxQFdISFzzQwcMPa6 . 8105 .12106560010.750003434maxm104.9221256021166zS4cm65600zI1 1、假定、