求轨迹方程的题目型全归纳.doc

求轨迹方程的六种常用方法
1．直接法
根据条件与一些根本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，如此，设点的坐标为，如此直线的斜率，直线的斜率
由有
化简，整理得点的轨迹方程为
练****br/>1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，如此点的轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 〔　　〕
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
2．定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．假如为的两顶点，和两边上的中线长之和是，如此的重心轨迹方程是_______________。
解：设的重心为，如此由和两边上的中线长之和是可得
，而点为定点，所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆。
所以由可得
故的重心轨迹方程是
练****br/>4．方程表示的曲线是 〔　　〕
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线
3．点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其根本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，
且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。
例3．椭圆中,过的弦恰被点平分,如此该弦所在直线方程为_________________。
解：设过点的直线交椭圆于、，如此有
①②
①②可得
而为线段的中点，故有
所以，即
所以所求直线方程为化简可得
练****br/>5．以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。
6．双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于两点，使 为线段的中点？
4．转移法
转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：
①某个动点在方程的曲线上移动；
②另一个动点随的变化而变化；
③在变化过程中和满足一定的规律。
例4． 是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。
解：设 重心，点，因为
如此有，故代入
得所求轨迹方程　
例5．抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程。
解法一：〔转移法〕设，∵，∴平行四边形的中心为，
将，代入抛物线方程,得，
设，如此
①
∴，
∵为的中点.∴，消去得
，由①得，，故动点的轨迹方程为。
解法二：〔点差法〕设，∵，∴平行四边形的中心为，
设，如此有
①②
由①②得③
而为的中点且直线过点，所以代入③可得，化简可得④
由点在抛物线口内，可得⑤
将④式代入⑤可得
故动点的轨迹方程为。
练****br/>7．，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。
5．参数法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化〞将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进展讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值X围的变化等等。
例6．过点作直线交双曲线于、两点，。
〔1〕求点的轨迹方程，并说明轨迹是曲线；
〔2〕是否存在这样的直线，使矩形？假如存在，求出的方程；假如不存在，说明理由。
解：当直线的斜率存在时，设的方程为，代入方程，得
因为直线与双曲线有两个交点，所以，设，如此
①
设，由 得
∴ 所以，代入可得，化简得
即②
当直线的斜率不存在时，易求得满足方程②，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。〔也可考虑用点差法求解曲线方程〕
〔2〕平行四边为矩形的充要条件是即③
当不存在时，、坐标分别为、，不满足③式
当存在时，
化简得，
此方程无实数解，故不存在直线使为矩形。
练****br/>8．设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点的坐标为,当绕点旋转时,求:
(1)动点的轨迹方程；