三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库7.6空间向量及其运算和空间位置关系(含答案详析).docx

三维设计高考数学人教版理科一轮复****配套题库7.6空间向量及其运算和空间地点关系(含答案详析)
三维设计高考数学人教版理科一轮复****配套题库7.6空间向量及其运算和空间地点关系(含答案详析)
三维设计高考数学人教版理科一轮复****配套题库7.6空间向量及其运算和空间地点关系(含答案详析)
高考真题备选题库
第七章 立体几何
第六节 空间向量及其运算和空间地点关系
考点 利用空间向量证明直线和平面的地点关系
1.（ 2013 浙江 ，15 分）如图，在四周体 A-BCD 中， AD ⊥平面 BCD ，BC
CD ， AD ＝ 2， BD＝ 2 2.M 是 AD 的中点， P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC
上，且 AQ＝3QC.
(1)证明： PQ∥平面 BCD；
(2)若二面角 C-BM -D 的大小为 60°，求∠ BDC 的大小．
解：此题考察空间线面平行的证明，二面角的计算，以及三角形的有关知识，考察考生
的推理论证能力、空间想象能力，以及利用空间向量解决有关问题的能力．
法一： (1)证明：取 BD 的中点 O，在线段 CD 上取点 F，使得 DF ＝ 3FC ，连结 OP，OF，
FQ .
1
由于 AQ＝ 3QC，因此 QF∥AD，且 QF＝ 4AD .
由于 O，P 分别为 BD，BM 的中点，因此 OP 是△BDM 的中位线，因此 OP∥DM ，且 OP
1
2DM .
又点 M 为 AD 的中点，
1
因此 OP∥AD ，且 OP＝ 4AD.
进而 OP∥FQ ，且 OP＝ FQ，
因此四边形 OPQF 为平行四边形，故 PQ∥OF .
又 PQ?平面 BCD， OF ? 平面 BCD ，因此 PQ∥平面BCD .
(2)作 CG⊥BD 于点 G，作 GH ⊥BM 于点 H ，连结 CH.
由于 AD ⊥平面BCD ， CG? 平面 BCD，因此 AD⊥CG，
又 CG⊥BD ， AD∩ BD＝D ，故 CG⊥平面 ABD ，又 BM ? 平面 ABD ，因此 CG⊥BM.
三维设计高考数学人教版理科一轮复****配套题库7.6空间向量及其运算和空间地点关系(含答案详析)
三维设计高考数学人教版理科一轮复****配套题库7.6空间向量及其运算和空间地点关系(含答案详析)
三维设计高考数学人教版理科一轮复****配套题库7.6空间向量及其运算和空间地点关系(含答案详析)
又 GH ⊥BM ，CG∩ GH ＝ G，故 BM ⊥平面 CGH ，
∴BM ⊥CH ，因此∠CHG 为二面角 C-BM -D 的平面角，即∠CHG ＝ 60°.
设∠BDC ＝ θ.
在 Rt△BCD 中， CD＝ BD cos θ＝ 2
2cos θ，
CG＝CD sin θ＝ 2
2cos θsin θ， BC＝ BDsin θ＝ 2 2sin θ，
BG＝ BCsin