高等工程数学复习

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1、高等工程数学复习高等工程数学复习模拟模拟题题鄢煜尘-110-430102A 的的Jordan标准型及相似换矩阵。标准型及相似换矩阵。1、求矩阵求矩阵解：解：P-1AP=J第一步：第一步：求矩阵求矩阵A的特征值和对应的特征向量的特征值和对应的特征向量。1230=2=1AAI设设 的的特特征征值值为为 ，则则有有特特征征方方程程：求求解解特特征征方方程程得得到到：，从从 解得解得 1=2对应的特征向对应的特征向量为：量为：(2 )AI x 1(0,0,1)T 从从 解得解得 2= 3=1 对应的特征对应的特征向量为：向量为：()AI x 2(1,2,-1)T 第二步：第二步：求矩阵求矩阵A的的Jo

2、rdan标准型标准型J。 1=2为单根，对应为单根，对应Jordan标准型标准型J的的Jordan块为：块为： 12J 二重特征值二重特征值 2= 3=1 对应对应Jordan标准型标准型J的的Jordan块为：块为：21101J 因此矩阵因此矩阵A的的Jordan标准型标准型J为：为：1220000110001JJJ 第三步：第三步：求矩阵求矩阵A的的Jordan变换矩阵变换矩阵P。变换矩阵变换矩阵P中的两列为特征值对应的特征向量，即：中的两列为特征值对应的特征向量，即：1(0,0,1)T 2(1,2,-1)T 和和变换矩阵变换矩阵P中的剩余一列为二重特征值对应的中的剩余一列为二重特征值对应

3、的广义特广义特征向量征向量，有：，有：2()AI (0,1, 1)T 求解得到：求解得到：因此矩阵因此矩阵A的的Jordan变换矩阵变换矩阵P为：为： 12010021111PIAAAAAg232)(3451 000 21002A2、求、求其中其中解：解：第一步：第一步：求矩阵求矩阵A的特征值和特征多项式的特征值和特征多项式 f( )。123232=0=1=2( )( )(1)(2)584AIAAAfIAf 设设 的的特特征征值值为为 ，解解方方程程得得到到 的的特特征征值值：，的的特特征征多多项项式式为为：即即：则有：则有： f (A) =0第二步：第二步：求多项式求多项式 g(A)。令令5

4、43( )2321g设：设： g() = q()f() + r()并设：并设： r() = a2 + b + c由：由： g() = q () f() + q() f () +r() 可以得到待定系数的方程组：可以得到待定系数的方程组：(1)14242(2)131144(2)5473abcgaabcgbabgc 21300()()421147354130001g Ar AAAI 因此因此3、讨论矩阵幂级数、讨论矩阵幂级数 的收敛性，的收敛性，其中其中 121kkAk3141A解：解： 首先求幂级数首先求幂级数021kkzk的收敛域。的收敛域。由由,11) 1(1lim22kkk可知收敛半径可知

5、收敛半径,1R而当而当 时，时， 1z对应的数项级数收敛，对应的数项级数收敛，幂级数幂级数因此因此021kkzk的收敛域为的收敛域为.1,1再求矩阵再求矩阵A的谱半径，的谱半径，( )1A 7矩阵幂级数收敛矩阵幂级数收敛4、已知矩阵、已知矩阵 求求 ，sinA , cosA。 1021AAe解：解：第一步：第一步：求矩阵求矩阵A的特征值的特征值。12=0=1AIAA 设设 的的特特征征值值为为 ，解解方方程程得得到到 的的特特征征值值：第二步：第二步：求矩阵函数的值求矩阵函数的值。设所求函数为设所求函数为 f (A), 则有多项式则有多项式 g(A) = aA + bI当当 f (1) = g

6、(1) 且且 f (1) = g (1) 时有：时有： f (A) = g(A) (1)(1)、对于对于矩阵函数矩阵函数 有：有：Ae200Aeabaeeeee Aeabe(2)(2)、对于对于矩阵函数矩阵函数sinA有：有：sin1cos1cos1sin1cos1sin12cos1sin0sin1abaabAa AbI(3)(3)、对于对于矩阵函数矩阵函数 cosA 有：有：cos1sin1sin1sin1cos1cos12sin1cos0cos1abaabAa AbI 5、求解向量矩阵微分方程、求解向量矩阵微分方程0121431( )|1,2TtdXXdtX t555524224442tt

7、ttAttttteeeeeeeee解：解：00()0()55( )( )( )1121112tAtA tttAtA ttttttX te b tegdeedeeee 因此因此106、设线性变换设线性变换T在基在基 1=1, -1T, 2=1, 1T下的矩阵表示为下的矩阵表示为 求：求： 1）T在基在基 1=1, 0T, 2=0, 1T下的下的矩阵表示；矩阵表示； 2）T的核与值域；的核与值域； 3）T的特征值与特征向量；的特征值与特征向量；0011A11解：解： 1）设）设T在基在基 1=1, 0T, 2=0, 1T下的下的矩阵表示为矩阵表示为B 设基设基 1=1, -1T, 2=1, 1T到

8、基到基 1=1, 0T, 2=0, 1T的的过渡矩阵为过渡矩阵为P，则有：，则有：B=P-1AP 根据定义有：根据定义有：1 01 10 11 1PP 11221122P10101BP AP12 2）设）设 = 1， 2x1 ,x2T N(T), 则有：则有： T( )= 1， 2Ax1 ,x2T =0 由于由于 1 , 2线性无关，因此有：线性无关，因此有： Ax1 ,x2T =0 解方程得到解方程得到x1 ,x2T =k1 ,1T , k为任意实数。为任意实数。 因此，因此， = 1， 2x1 ,x2T= k( 1 + 2 ) 即：即：N(T)=Span( 1 + 2 ) 由于由于r(A)

9、=1, 所以：所以： R(T)= 1， 2A =Span( 2)13 3）A的特征值是的特征值是 1= 0， 2= 1，对应的特征向量为：，对应的特征向量为： k11 , 1T , k20 , 1T 其中其中k1、k2均为任意非零实数均为任意非零实数 因此因此T的特征值是的特征值是 1= 0， 2= 1，对应的特征向量为：，对应的特征向量为： k1( 1 + 2 )，k2 2 其中其中k1、k2均为任意非零实数均为任意非零实数 14()1,( )0,t cetcf tothers 12nxxx7、设某种电子器件的寿命（以小时计）、设某种电子器件的寿命（以小时计）T服从双参数的指数分布，其概率密

10、度为：服从双参数的指数分布，其概率密度为：其中其中 c, (c, 0)为未知参数。为未知参数。从一批这种器件随机地取从一批这种器件随机地取n件进行命试验，件进行命试验，设它们的失效时间依次为设它们的失效时间依次为求求 c, 的极大似然估计的极大似然估计解：解：似然函数为似然函数为()11( , )0,inxciiexcL ，其其它它对数似然函数为对数似然函数为11ln ( , )ln()niiLcnxc 求导方法无法求参数求导方法无法求参数 c 的的MLE是是*11minii ncxx 故使故使 达到最大的达到最大的 c 即即 c 的的MLE， ),( L c 取其它值时，取其它值时，( ,

11、)0.Lc 对对min, ( , )0,icx Lc 且是且是 c 的增函数的增函数11()1,min( , )0,niixcinexcLc 其其它它由于由于这时要用极大似然原则来求这时要用极大似然原则来求 .*11niixcn 即 为 的MLE .*,c ,c 11ln ( , )ln()niiLcnxc ，解得求导并为对0178、设一种元件的寿命服从正态分布（设一种元件的寿命服从正态分布（，），若其使），若其使用寿命不低于小时则为合格品，现从这批该种元用寿命不低于小时则为合格品，现从这批该种元件中随机抽取了件，测得其平均寿命为小时，件中随机抽取了件，测得其平均寿命为小时，如果已知如果已知小

12、时，问在显著性水平小时，问在显著性水平下，下，能否认为这批元件是合格的？能否认为这批元件是合格的？解：检验假设：解：检验假设：1000 H1:1000拒绝域：拒绝域：01/xn 代入数据：代入数据：1 0.05950 1000100/25 即：即： -2.51000拒绝域：拒绝域：01/xn代入数据：代入数据：1 0.012040/25即：即： 2.52.325 不等式成立。不等式成立。假设假设H0不成立不成立，质量有显著提高，质量有显著提高xi0.5 -0.8 0.9 -2.8 6.52.31.65.1 -1.9 -1.5yi-0.3 -1.2 1.1 -3.5 4.61.80.52.8 -

13、2.8 0.5201,(0,),1,2,10iiiiYxNi 1210, 01,10、今有、今有10组观测数据如下：组观测数据如下：应用正态线性模型应用正态线性模型相互独立，求相互独立，求的最小二乘估计。的最小二乘估计。niiiyEyQ1210)(),(niiixy1210)(解：解：使离差平方和为最小的使离差平方和为最小的01,1121()()()niiiniixxyyxxxy10. 0)(, 0)(110110iniiiniiixxyxy有：有：11、设某一物体长度的真实值设某一物体长度的真实值 未知，未知，用直接测量法用直接测量法测量测量n次，次，获得物体长度的获得物体长度的n个测量值个测量值假设假设与与 的关系模型为：的关系模型为：是测量误差是测量误差，（1）求证）求证 的最小二乘估计为的最小二乘估计为（2） （ ， 已知），证明已知），证明 是是 的最小方差无偏估计。的最小方差无偏估计。nxxx,21nxxx,21iixni, 2 , 1i11niixn), 0(2Ni2ni, 2 , 111niixn