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1、 2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）1.已知全集U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4,则Cu（MUN）=（ ） A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,4【答案】 A 【考点】交集及其运算，补集及其运算 【解析】【解答】因为 U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4 则 MUN 1，2，3，4， 于是 Cu（MUN）= 5 。 故答案为：A 【分析】先求 MUN，再求 Cu（MUN） 。2.设iz=4+3i，则z等于（ ） A.-3-4iB
2、.-3+4iC.3-4iD.3+4i【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z4+3ii=4i-3-1=3-4i。 故答案为：C 【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。3.已知命题p： xR，sinx1；命题q： xR， e|x|1，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p qB. p qC.p qD. (pVq)【答案】 A 【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。4.函数f（x
3、）=sin x3 +cos x3 的最小正周期和最大值分别是（ ） A.3 和 2B.3 和2C.6 和 2D.6 和2【答案】 C 【考点】正弦函数的图象，y=Asin（x+）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】因为 f（x）=sin x3 +cos x322sin(x3+4) ,所以周期T2136 ，值域2，2。 即最大值是2， 故答案为：C。 【分析】先将 f（x） 解析式化成Asin(x+)的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。5.若x，y满足约束条件 x+y4xy2y3 ,则z=3x+y的最小值为（ ）
4、 A.18B.10C.6D.4【答案】 C 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域）， 当直线 z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6. 故答案为：C 【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。6.cos212cos2512= （ ） A.12B.33C.22D.32【答案】 D 【考点】二倍角的余弦公式 【解析】【解答】因为cos212cos2512= 1+cos(212)2-1+cos(2512)2=12(cos6-cos56)=32 故选D。 【分析】由降幂公式，可以化成特殊角
5、的三角函数求值。7.在区间(0, 12 )随机取1个数，则取到的数小于 13 的概率为（ ） A.34B.23C.13D.16【答案】 B 【考点】几何概型 【解析】【解答】由几何概型得：P13012023. 故答案为：B 【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。8.下列函数中最小值为4的是（ ） A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4|sinx|C.y=2x+22xD.y=lnx+4lnx【答案】 C 【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式 【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题
6、意； 对于B：因为y=|sinx|+4|sinx| ， 设t=|sinx|(t(01 ),则y=g(t)=t+4t(0t1)由双沟函数知， 函数yg(t)=t+4t(0t1)是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合； 对于C：因为 y=2x+22x2x+42x22x42x=4,当且仅当2x42xx=1时“”成立， 即ymin=4，故C选项正确； 对于D：当x(0,1)时，y=lnx+4lnx0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab,aba2.故B,C项错； 当aba2,故A错。 故答案为：D. 【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。二、填空题：
7、本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）13.已知向量a=(2,5),b=(,4)，若 a/b ，则=_. 【答案】 85 【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】因为a=(2,5),b=(,4)，且 a/b ， 则2450 ， 则 85。 【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。14.双曲线 x24y25=1 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为_. 【答案】 5 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x
8、+2y-8的距离为d=|3+20-8|12+22=5. 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3 ，B=60，a2+c2=3ac，则b=_. 【答案】 22 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】SABC=12acsinB=12acsin600=34ac=3ac=4, 于是b=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=2ac=22 【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视
9、图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）. 【答案】 或 【考点】由三视图还原实物图 【解析】【解答】当俯视图为 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图； 当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图， 故答案为： 或 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产
10、品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为s12和s22（1）求 x ， y ， s12 ， s22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y - x 2s12+s222 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】 （1）解：各项所求值如下所示 x = 110 (9.8+1
11、0.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y = 110 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s12 = 110 x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36，s22 = 110 x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)
12、2+(10.6-10.3)2=0.4.（2）由(1)中数据得 y - x =0.3，2 s12+s2210 0.34 显然 y - x 2 s12+s2210 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数x,y ， 再直接用公式计算 s12 ， s22； (2)由 (1)中的数据，计算得： y - x =0.3，2 s12+s2210 0.34 ， 显然 y - x 2 s12+s2210 ，可得到答案。18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且
13、PB AM. （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积. 【答案】 （1）因为 PD 底面 ABCD ， AM 平面 ABCD ， 所以 PDAM ， 又 PBAM ， PBPD=P ， 所以 AM 平面 PBD ， 而 AM 平面 PAM ， 所以平面 PAM 平面 PBD （2）由（1）可知， AM 平面 PBD ，所以 AMBD ， 从而 DABABM ， 设 BM=x ， AD=2x ，则 BMAB=ABAD ， 即 2x2=1 ， 解得 x=22 ，所以 AD=2 因为 PD 底面 ABCD ， 故四棱锥 PABCD 的体积为 V=13
14、(12)1=23 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明 AM 平面 PBD ， 从而可能证明 平面 PAM 平面 PBD ；（2）由连接BD（1）可得 AMBD ， 证明 DABABM通过计算，求出高 AD=2 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。19.设 an 是首项为1的等比数列，数列 bn 满足 bn=nan3 ，已知 a1 ，3 a2 ，9 a3 成等差数列. （1）求 an 和 bn 的通项公式； （2）记 Sn 和 Tn 分别为 an 和 bn 的前n项和.证明： Tn Sn2 . 【答案】 （1）
15、因为 an 是首项为1的等比数列且 a1 ， 3a2 ， 9a3 成等差数列， 所以 6a2=a1+9a3 ，所以 6a1q=a1+9a1q2 ，即 9q26q+1=0 ，解得 q=13 ，所以 an=(13)n1 ，所以 bn=nan3=n3n .（2）证明：由（1）可得 Sn=1(113n)113=32(113n) ， Tn=13+232+n13n1+n3n ，13Tn=132+233+n13n+n3n+1 ， 得 23Tn=13+132+133+13nn3n+1 =13(113n)113n3n+1=12(113n)n3n+1 ，所以 Tn=34(113n)n23n ，所以 TnSn2=
16、34(113n)n23n34(113n)=n23n0 ，所以 TnSn2 .【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】由 a1 ， 3a2 ， 9a3 成等差数列，列关系式等比数列 an的公比q，进而得到 an ，再由bn与an的关系求得bn； （2）先根据条件求得Sn ，再由错项相减的方法求得Tn的表达式，最后用求差比较法，证明 Tn 0)的焦点F到准线的距离为2. （1）求C的方程. （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 PQ=9QF ，求直线OQ斜率的最大值. 【答案】 （1）抛物线 C:y2=2px(p0) 的焦点 F(p2,0) ，准线方程为
17、 x=p2 ， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 p2(p2)=p=2 ，所以该抛物线的方程为 y2=4x ；（2）设 Q(x0,y0) ，则 PQ=9QF=(99x0,9y0) ， 所以 P(10x09,10y0) ，由 P 在抛物线上可得 (10y0)2=4(10x09) ，即 x0=25y02+910 ，所以直线 OQ 的斜率 kOQ=y0x0=y025y02+910=10y025y02+9 ，当 y0=0 时， kOQ=0 ；当 y00 时， kOQ=1025y0+9y0 ，当 y00 时，因为 25y0+9y0225y09y0=30 ，此时 0kOQ13 ，当且仅当 25y0=9y
18、0 ，即 y0=35 时，等号成立；当 y00 时， kOQ0,a0,f(x) 单调递增；当 x(2412a6,2+412a6) 时， f(x)0,f(x) 单调递增；综上可得：当 a13 时， f(x) 在R上单调递增，当 a13 时， f(x) 在 (,2412a6) 上单调递增，在 (2412a6,2+412a6) 上单调递减，在 (2+412a6,+) 上单调递增.（2）由题意可得： f(x0)=x03x02+ax0+1 ， f(x0)=3x022x0+a ， 则切线方程为： y(x03x02+ax0+1)=(3x022x0+a)(xx0) ，切线过坐标原点，则： 0(x03x02+a
19、x0+1)=(3x022x0+a)(0x0) ,整理可得： 2x03x021=0 ，即： (x01)(2x02+x0+1)=0 ，解得： x0=1 ，则 f(x0)=f(1)=11+a+1=a+1 ，即曲线 y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x) 的公共点的坐标为 (1,a+1) .【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性 【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间； （2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。四、选修4-4：坐标
20、系与参数方程（共1题；共2分）22.在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1. （1）写出 C的一个参数方程； （2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 【答案】 （1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 x=2+cosy=1+sin （ 为参数).（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0. 故 |2k14k+1|1+k2 =1即|2k|= 1+k2 ，4 k2 = 1+k2 ，解得k= 33 .故直线方程为y= 33 (x-4)+1， y= 33 (x-4)+1
21、故两条切线的极坐标方程为 sin = 33 cos - 433 +1或 sin = 33 cos + 433 +1.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程； （2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。五、选修4-5：不等式选讲（共1题；共2分）23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当a=1时，求不等式f（x）6的解集； （2）若f（x）-a，求a的取值范围. 【答案】 （1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|6的解集. 当x1时，2x十26，得x2;当-3x-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值. 当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|-a.A-3时，2a+30，得a- 32 ；a-a，此时a不存在.综上，a- 32 .【考点】不等式的综合 【解析】【分析】（1)当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式； （2）只要保证 f(x)最小值-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.第 12 页 共 12 页
