信号2013-10-14

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1、Chap 3 连续信号的频域分析一.周期信号的傅里叶级数 1.公式：1110)()(2)(iiitiSinbtiCosaatfTttTttTttndttnCostfTdttnCosdttnCostfa111111)()(2)()()(1121TttTttTttndttnSintfTdttnSindttnSintfb111111)()(2)()()(1121TttdttfTa110)(2ntjnnnntjnntjnnneCeAeAeAAtftjn111121212)(10TtttjnTtttjntjnTtttjnndtetfTdteedtetfC111111111)(1)()(*Ttttjnnd

2、tetfTA111)(22. 傅里叶级数的指数形式：其中：3. 特殊周期信号的傅里叶级数： 奇函数、偶函数、奇谐函数、偶谐函数4. 傅里叶级数的性质： 1） 2） 3） 4）5.周期函数的频谱：离散性、谐波性、收敛性ntjnneFtf1)(ntjnneFtf1)(ntjntjnneeFttf101)(0ntjnneFjntf11)(ntjnnneFFttf12cos)(111ntjnnneFFttf12sin)(111ntjnnkkeFjntf11)()(3.4 非周期信号的频谱分析 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的特殊形式傅里叶变换的特殊形式傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义

3、傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件一傅里叶变换)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号 22j11111d)(1)(TTtntetfTnF 谱谱系系数数连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱. 引出 1T0再用再用 表示频谱就不合适了，虽然各表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。引入频谱密度函数。 1 nF11 2 T 谱谱线线间间隔隔0 0)( , 0111 nFTf 22j11111d)(1)(TTtntetfTnF 11lim1 nFTFT 22j1111d)(limTTtnTtet

4、f 连连续续， 111dnn fnFTnFnFT111111 时时，当当 1T（1） 有有界界函函数数fnF1 频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数1T 1T 单位频带上的频单位频带上的频谱值谱值21T 21T1n j)(tdtetf 1T 频谱密度函数的表示)(j| )(|)( eFF .)(称为傅里叶变换称为傅里叶变换求求由由 Ftf 故故可可表表示示为为一一般般为为复复信信号号 , F 幅幅度度频频谱谱: F 相相位位频频谱谱: )(d)()(jtfFtetfFt 2反变换 ntnenFtf1j111)()( 2)(11lim1nFT )(11lim1 nFTFT 11)(l

5、im1 nFT 2F ,d1 1n,1时时当当 T d21jteFtf )(的的反反变变换换？应应是是 Ftf由复指数形式的傅里叶级数由复指数形式的傅里叶级数11 ，再乘以，再乘以除以除以tnnenFtf1j1)()( 3傅里叶变换对 )(d)()(jtfFtetfFt FFeFtft1jd21)( Ftf 简简写写欧拉公式欧拉公式 tetfFtd)(j ttttftfoedsinjcos)()( 二傅里叶变换的表示 tftftfo e)( 实信号实信号偶分量偶分量奇分量奇分量 00dsin)(2jdcos)(2tttftttfoe 实部实部虚部虚部 XReFFjj 实部实部虚部虚部模模相位相

6、位 0dcos)(2tttfRe 的的偶偶函函数数关关于于 0dsin)(2tttfXo 22 XRF RXtg1 tf 偶函数偶函数（奇分量为零）（奇分量为零） F R 为实函数，只有为实函数，只有 ，相位，相位 F 奇函数奇函数（偶分量为零）（偶分量为零） tf X2 为虚函数，只有为虚函数，只有 ，相位，相位的的偶偶函函数数关关于于 的的奇奇函函数数关关于于 的的奇奇函函数数关关于于 d21)(jteFtf 三傅里叶变换的物理意义 d21j)(jteeF dsin21j dcos21 tFtF dcos10 tF tFcosd0实函数实函数 jeFF 欧拉公式欧拉公式积分为积分为0 tF

7、tfcosd0 0 :, d1 频频域域范范围围之之和和的的连连续续余余弦弦信信号号无无穷穷多多个个振振幅幅为为无无穷穷小小 F 求和求和 振幅振幅 正弦信号正弦信号 ; : , d21 占占据据整整个个频频域域信信号号之之和和的的连连续续指指数数无无穷穷多多个个幅幅度度为为无无穷穷小小F解释 tteFeFtf jjd2d21)( 四傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。所有能量信号均满足此条件。 绝绝对对可可积积即即tf )( d充充分分条条件件有有限限值值 ttf 当引入函数的概念后，允许作 变换的函数类型大大扩展了。F单边指数信号单边指数信号矩形脉冲矩形脉冲直流信号直流信号符号函

8、数符号函数升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号 dtetuEetfFtt j)(F 0 000ttEetft 一单边指数信号 jd0j EtEet tfOtE频谱图 22 EF 0, 0 FEF 1tg 2,2,0, 0 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： F0 E 0 2 2 二矩形脉冲信号 22jd tEeFt22jj teEj2.222jj eeE 22sin E 2Sa E 2Sa EF 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： , 2 , 1 , 022212212240 nnnnn E0 tft2 2 12 fBB或或频谱图 2Sa EF 幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽：

9、 F E 2O 4 2 20 4 2 F E 2O 4 2 tEtf,)(三直流信号0Et tf不满足绝对可积不满足绝对可积条件，不能直接条件，不能直接用定义求用定义求 FtO tf1 E EE2推导 teEFtdjlim jjlimteE jjjlim eeE sin2lim E sin2lim E E2 O E 2 F EE2 )(Salim 时域无限宽，频带无限窄时域无限宽，频带无限窄证明证明 )(Salim 减减小小。曲曲线线下下的的面面积积 , ，面面积积仍仍为为能能量量压压缩缩到到0, Sa 2O Sa1)Sa( t11 )sgn(tO 0, 10, 1sgn)(ttttf四符号函

10、数处理方法：处理方法： 0j0j1ddteeteeFtttt 222jj1j1 j22j22010limlim FFte te .sgn11 FFettft求求极极限限得得到到，求求 做一个双边函数做一个双边函数不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件 2j22jj2sgn et 频谱图 是偶函数是偶函数 F 是奇函数是奇函数 O 2 2 2 )( FO 222F 0, 2/0 , 2/02tg1 五升余弦脉冲信号 ttEtf0 cos12OtE tf 2E2 2 tetfFtdj t etEtdcos12j teeEteeEteEtttttd4d4d2jjjjj Sa2Sa2SaEEE频谱图 2

11、21Sa1sin EEF其频谱比矩形脉冲更集中。其频谱比矩形脉冲更集中。 O F E 2 E 2 3 4 小结： 非周期函数的傅里叶变换 1. 公式：傅傅立立叶叶逆逆变变换换密密度度函函数数）傅傅立立叶叶正正变变换换（频频谱谱dejFtfdtetfjFtjtj)(21)()()(dtjFjdtjFtfdejFtftj)(sin)(21 )(cos)(21)( )(21)(2的的三三角角函函数数形形式式、 0)(cos)(1)(cos)(21 dtjFdtjF3、典型信号的傅里叶变换：重点：冲激信号、阶跃信号3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数冲激函数冲激偶冲激偶单位阶跃函数单位阶跃函数