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1、平面任意力系平面任意力系：作用在物体上的所有力的作用线作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，作用线既不汇交也不全平行。都在同一平面内，作用线既不汇交也不全平行。xAFyAFACBBFCFPMPQPQPQPQPQBFACBxAFyAF若物体的结构与所受力具有相同的对称平面，则可简化为平面一般力系问题来处理。2-1 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点 A A 的力的力 F F 平行移动平行移动到任意一点到任意一点 B ,B ,但必须同时附加一个力偶。但必须同时附加一个力偶。一、力的平移定理一、力的平移定理刚体上的力，可沿作用线移动FrMFFM
2、FFBBBABA, 为什么钳工攻丝时，为什么钳工攻丝时，两手要均匀用力？两手要均匀用力？AFAFBFCFACBPACBPBCFM牛腿柱的压、弯组合变形牛腿柱的压、弯组合变形o,21nFFF, , , 21nFFF,21nMMM二、平面任意力系向一点的简化二、平面任意力系向一点的简化1、向简化中心平移、向简化中心平移得到平面汇交力系和平得到平面汇交力系和平面力偶系面力偶系2F2M1F1MnFnMn1iin1iiFFFRn1iiin1iiFrMMO,21nFFF,RFOM结论：平面一般力系向一点简化，最终得一个力结论：平面一般力系向一点简化，最终得一个力 FR 和一个力偶矩和一个力偶矩 MO ，即
3、，即主矢主矢和和主矩主矩2、再简化、再简化得到主矢和主矩得到主矢和主矩（2）主矩与简化中心有关，称为原力系对简化中心的主矩）主矩与简化中心有关，称为原力系对简化中心的主矩oRFnM（1）主矢与简化中心无关，称为原力系的主矢）主矢与简化中心无关，称为原力系的主矢三、固定端约束三、固定端约束AxAFyAFAMAA一、简化结果的几种情况一、简化结果的几种情况1）0, 0ORMF原力系与一个力等效合力合力OOOO汇交力系汇交力系平行力系平行力系2）0, 0ORMF原力系与一个力偶等效合力偶合力偶OOMR力偶系等效于合力偶这种情况下，简化结果与简化中心的位置无关这种情况下，简化结果与简化中心的位置无关
4、符合力偶系的等效定理符合力偶系的等效定理O3）0, 0ORMF原力系可转化为情况1）合力合力ORoFMdOOO)(MFMFdFMRRRRFOOMOdRFdOMRF4）0, 0ORMF原力系平衡二、平面一般力系的合力矩定理二、平面一般力系的合力矩定理平面任意力系的合力对平面内任意一点的平面任意力系的合力对平面内任意一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和)(OOiMMFOO)(MMRF)()(OOiRMMFFlqABxdxdQQxCC水平梁水平梁 AB AB 受按三角形分布的载荷作用。载荷的受按三角形分布的载荷作用。载荷的最大值为最大值为 q q ，梁长为，
5、梁长为 l l 。试求合力作用线的位置。试求合力作用线的位置。解：解： 取微段 dx ，其上作用力大小 dQ=q(x) dx ，其中 q(x)=(x/l)q 。则分布载荷的合力大小为设合力作用线距 A 端的距离为 xC ，根据合力矩定理将 Q 和 q(x) 的数值代入可得qlxxqQl21)d(0lxxxqxQ0Cd)(lxC32欲使平面一般力系平衡，须有：0RF0OM即：0 xF0yF 0iOOFMM0)(00FoyxMFF三个方程能解三个未知数例例2-1 图示结构，在 AB 梁上作用有集中力 Q 和 P , 其位置如图。Q=1 kN , P=8 kN ,杆重忽略不计。求：BC杆内力及A处的
6、约束反力。解：解：取AB梁为分离体画受力图QPACB302m1m1mAxFAyFQPABBCF0X0Y0iAMF解得：030cosBCAxFF030sinBCAyFPQF030sin432BCFPQ(kN)2611.AxF(kN)52.AyF(kN)13BCF列方程AxFAyFQPABBCF0, 0AxxFF解：解：研究AB梁，画受力图。qlFqlFFAyAyy,00221020qlMQlMMAAA,AMAxFAyFl/2Q其中 Q=ql43P2 m2.5 mMABPMABxAFyAFBF图示刚架，已知载荷 P=5 kN ，力偶矩 M=2.5 kNm 。求：支座A、B反力。PMABxAFyAF
7、BF,0Y,0X , 0AM053 PFAx054PFFBAy025452532PPMFB.代入数据解得：FAx=3 kNFAy=5 kNFB=1 kN3lll600FMPADCBA3lll600FMPDCBxAFyAFMlQ例例2-5 自重为P=100 kN的T字型刚架 ABD，置于铅垂面内，尺寸及载荷如图。其中 M=20 kNm ， F=400 kN ， q= 20 kN/m ，l=1 m 。试 求固定端A的约束反力。A3lll600FMPDCBxAFyAFMlQ,0Y,0X , 0AM060sin0FQFAx060co0sFPFAy0360sin60cos00lFlFQlMMA解方程，求
8、得(kN)4316.AxF(kN)100AyFm)(kN2789.AM列方程AyFAxFBF(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(4)(1)+(2)+(5)(1)+(3)+(4)(2)+(3)+(5)(1),0X0cosBAxFFAyFAxFBF(2),0Y0sinBAWFFy(3),0)(AFM0a2asWinFB(4),0)(BFM0aaAWFy(5),0)(DFM0a2aAWFxBFyFAxFA(1)+(4)+(5)(2)+(4)+(5)(3)+(4)+(5)(1),0X0cosBAxFF(2),0Y0sinBAWFFy(5),0)(DFM0a2aAWFx(4),0)(BFM0aaAW
9、Fy(1)+(4)+(5)(2)+(4)+(5) 包含三个未知量的方程组，只有三个方程是独立包含三个未知量的方程组，只有三个方程是独立的；第四个方程与另三个独立方程线性相关，是这三的；第四个方程与另三个独立方程线性相关，是这三个方程的线性组合。个方程的线性组合。由（4）、（5）可得PFFAyAx结合方程（1）便可得出(2)0sinBAWFFyxyo0)(00FoyxMFF0)(0)(0FFBAxMMF0)(0)(0)(FFFCBAMMM,21AnMFFFFR00)(AAMMFABMB/0)(RFF0cos0 RFFxRFAM ADCBPabb/2O300300ACBPabb/2ODBFCAFC
10、BF例例2-5 用三根杆将物体支撑于斜面，不计各杆自重，用三根杆将物体支撑于斜面，不计各杆自重，求各杆对物体的约束反力。求各杆对物体的约束反力。解： 研究物体，画受力图,0X003)cos(0CBDBCAFFF,0Y003)sin(0DBCAPFF,0)(AFM0230cos230sina03sin000aPbPFaFCBDB,0)(BFM0230cos230sin00aPbPaFCA,0)(CFM0230cos2330sin00aPbPaFDBACBPabb/2ODBFCAFCBF恒成立0 xFxyo1F2FnF（A、B两点连线不与各力平行）0)(0FOyMF一矩式或 0FmA 0FmB二矩
11、式ABqMPaaa例例2-6 水平外伸梁的载荷及尺寸如图所示。已知力偶矩 M=1.6 kNm 、P=2 kN 、q = 2 kN/ m 、a= 0.8 m 。求支座 A、B 处的约束反力。ABqMPaaaBFAFQABqMPaaaBFAFQ,0Y0BAQPFF,0)(AFM022aPaQaFMB,0)(BFM023aPaQaFMA解得(kN)21.BF(kN)42.AF另一个力矩方程：6 m12 mP3P1P2AB例例2-7 塔式起重机，机架重P1=700 kN ，作用线通过塔架中心。最大其重量 P2=200 kN ，最大悬臂长 12 m ，轨道A、B间的距离为 4 m 。平衡荷重 P3 ，到
12、机身中心线的距离为 6m 。（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重 P3应为多少？（2）当平衡荷重 P3=180 kN 时，求满载时轨道 A、 B给起重机轮子的反力6 m12 mP3P1P2ABAFBF4分析：要使起重机不翻倒，应按临界状态的平衡条件求解。当满载时，为使起重机不绕 B 点翻倒，P3 不可过小，所以即将绕 B 点翻倒的临界状态便对应着 P3 的最小值；当空载时，为使起重机不绕 A 点翻倒， P3 不可过大，所以即将绕 A 点翻倒的临界状态便对应着P3 的最大值。解：解：（1）满载时，考虑起重机即将绕 B 点翻倒的临界状态，此时 FA=0 ，这对应着 P3 的最小值。
13、,0)(FMB0)212(2)26(21min3PPP解出：kN75min3P,0)(FMA02)26(1max3PP解出：kN350max3P空载时，考虑起重机即将绕 A 点翻倒的临界状态，此时FB=0 ，这对应着 P3 的最大值。结论：kN350kN753 P(2) 当平衡荷重 P3=180 kN 时, 对起重机列平衡方程,0)(FMA04)212(2)26(213BFPPP,0Y0321BAPPPFF解得kN210AFkN870BF静不定问题：静不定问题：系统中所求的未知量的数目多于独立方程的数目，仅用静力学平衡方程不能解出全部未知量不可定出静定问题：静定问题：系统中所包含的未知量的数目
14、等于独立方程的数目，所有未知量都可用静力学平衡方程解出定出WW平面汇交力系的静定与静不定平面平行力系中的静定与静不定举例平面平行力系中的静定与静不定举例PPAFBFCFAFBF平面一般力系中的静定与静不定举例平面一般力系中的静定与静不定举例PxAFyAFMAPxAFyAFMACFBFMBFM静定梁的基本形式静定梁的基本形式 简支梁ABPAxFAyFBF 外伸梁AB1P2PAxFAyFBF悬臂梁多跨静定梁（复合梁）A1P2PAxFAyFAMADCBADCBP主梁副梁下面的内容物体系的平衡问题PACBOPCFxAFyAFBFCFxAFyAF空 调 器 的 合 理 安 装空 调 器 的 合 理 安
15、装膨 胀 螺 栓物体系：物体系：两个或多个物体通过一定的约束方式连接起来而组成的物体系统，简称为物体系。例例4-6 连续梁（多跨梁）由AC和BC在C点铰接而成。已知P1=5 kN ，P2=5 kN ，q=2.5 kN/m ，M=5kN/m 。求A 、B 、D 三支座的约束反力及AC、BC间的相互作用力。物体系的平衡问题是平面力系问题中的重点和难点，一般既要求系统的外力又要求系统的内力。系统是平衡的，则其整体和每一部分都是平衡的，都可以用来建立平衡方程进行求解。ADCBP1P2Mq1m1m2m2m2mBFxCFyCFBP2CMq解：解：首先研究 BC 部分，画受力图。列方程,F0)(CM,00Y
16、X0124MqFB02C PFx02BCFqFy分别解出：kN52B.FkN05C.xFkN52C.yFADCBP1P2Mq1m1m2m2m2myAFxAFDFCxFCyFDCP1qA再研究AC部分，画受力图。列方程,F0)(AM,00YX043221CD1yFqFP0CAxxFF021CDAqPFFFyy将前面所解出的 、 代入，可 分别解得CxFCyFkN52B.FkN015D.FkN52A.yFADCBP1P2Mq1m1m2m2m2mADCBP1P2MqyAFxAFDFBF方法二方法二若不需求解中间铰链C处的约束反力，则在研究完BC部分后，还可以研究整体，同样可解出其余未知量。研究整体，
17、画受力图。研究整体，画受力图。列方程,F0)(AM,00YX084421BD1MFqFP0CAxxFF021CDAqPFFFyy将前面所解出的 代入，可 分别解得BFkN52B.FkN015D.FkN52A.yF例例2-8 三铰拱由两半拱和三个铰链构成。已知每半拱重P=300 kN，l=32 m，h=10 m 。求支座A和B的约束反力。ACBPPl/2l/2l/8l/8hAPxAFyAFCCxFCyFBCPxBFyBFxCFyCFACBPPl/2l/2l/8l/8xAFyAFxBFyBFh首先研究整体,F0)(AM0878lPlPlFBykN300 PFBy, 0Y02PFFByAykN300
18、 PFAy,0X0BxAxFF*APl/2l/8xAFyAFCCxFCyFhl/8CBPl/2xBFyBFxCFyCFh再研究AC部分再研究BC部分或或,F0)(CM0832lPhFlFBxBykN120BxF,F0)(CM0832lPhFlFAxAykN120AxF再由方程*解出kN120BxF再由方程*解出kN120AxFDFACDAFCxFCyFWP例例2-92-9 图示人字型折梯放在光滑水平地面上，若载荷、图示人字型折梯放在光滑水平地面上，若载荷、尺寸均已知，试求无重绳索的受力。尺寸均已知，试求无重绳索的受力。ACBDEPWlsBECEFxCFyCFBF能否先研究某一部分？能否先研究某
19、一部分？ACBDEPWlsAFBF先研究整体可解出先研究整体可解出 FA 、FB 。DFACDAFCxFCyFWPBECEFxCFyCFBF再研究任一部分，便可利用力矩方程再研究任一部分，便可利用力矩方程 解出解出 绳子的拉力绳子的拉力。,F0)(CM方法一方法一方法二方法二300300800 mmMADCBEO例例2-16 颚式破碎机机构，已知工作阻力为FR=30 kN、OE=10 cm，BC=CD=AG=40 cm，AB=60 cm，在图示位置时， BC、 CD与水平面夹角为 300、 OE水平、 AB 与BC垂直 。求在此位置时能克服工作阻力所需的力偶矩。300300MADCBEOFRG
20、C300300800 mmMADBEOFRGMEOxOFyOFECFABFRGxAFyAFCBFBCFCEFDCFCkN20CBFkN3321.CEFcmkN25212.MO1O2ABCM1M2O2CM2O1M1AFAxFAyFx1Fy1BO2CAFAxFAyFBFCFCFx1Fy1FAxFC物系平衡的基本解法物系平衡的基本解法基本经验：连续梁问题必然先对副梁求解，其它问题一般 可采用先试整体，后拆开先试整体，后拆开的原则1） 如整体的外约束反力不超过三个，或虽超过三个， 但不拆开也能求解部分未知量时，可先研究整体。2） 如必须拆开时，可选受力简单，且有已知力和未知力共同作用的构件或部分。3）
21、 一个研究对象上的未知量数目最好不超过相应的平衡方程数目，这样可以避免解两个或多个分离体的联立方程。可利用的条件：刚体系平衡（整体平衡）+ 系统中每个部分平衡4） 解题思路要明确，杜绝乱选研究对象、罗列方程的不良做法。熟练的受力分析是解题思路的源泉。例例2-122-12 结构受力、尺寸如图，结构受力、尺寸如图，A A，B B两两端皆端皆为固定铰支座，杆重忽略不计。为固定铰支座，杆重忽略不计。 求：求：A A，B B两支座的约束反力及销钉两支座的约束反力及销钉C C对对ACAC杆的反力杆的反力ABPPqCDl2l2l2lExAFyAFxBFyBF 画受力图列方程解解:1) 首先研究整体ABPPq
22、CDl2l2l2lExAFyAFxBFyBF0X0PFFBxAx0Y0lqPFFAyBy0iAFm0232121lFllqlPlPBy由（3）、（2）可解出qlPFAy31qlPFBy322) 取AC杆为分离体 , 画受力图列方程0X0PFFCxAx0iAFm02121lFlFlPCxCy0Y0AyCyFF由此三方程可解出PqlFAx3161PqlFCx3261qlPFCy31C（孔）（孔）AP2l2l2lExAFyAFxCFyCF总结：PqlFAx3161qlPFAy31PqlFCx3261qlPFCy31PqlFBx3261qlPFBy32最后，将 FAx 之值代入方程（1），可得qlPF
23、y32B思考思考：能否通过研究杆BC求出销钉C对杆AC的约束反力？BPqC（有销钉）（有销钉）DxBFyBFCxFCyF例例2-152-15 结构由结构由 ABAB、BCBC和和CDCD三部分组成，所受载三部分组成，所受载荷及尺寸如图，各部分自重不计，求荷及尺寸如图，各部分自重不计，求A A、D D、C C和和E E处的约束反力。处的约束反力。ADCBEPqMaaa/2aaxAFyAFxDFyDFEF清例3-8ADCBEPqMaaa/2aaxAFyAFxDFyDFEFDMaxDFyDFCCBFABEPqa/2axAFyAFEFBCFaMFFCBBC2aMFDxaMFDyaMPqaFE2232a
24、MFAxaMPqaFAy22解题步骤 取取研究对象研究对象 画画受力图受力图 列解列解方程方程 取取研究对象研究对象 画画受力图受力图 列解列解方程方程 取取研究对象研究对象 画画受力图受力图 列解列解方程方程 取取研究对象研究对象 画画受力图受力图 列解列解方程方程 取取研究对象研究对象 画画受力图受力图 列解列解方程方程清例3-10例例2 21515 图示组合结构，由横梁图示组合结构，由横梁ACAC、BCBC及五根支杆组及五根支杆组成，所受载荷及尺寸如图。试求成，所受载荷及尺寸如图。试求1 1、2 2、3 3杆的内力。杆的内力。ADCBEPBFqaqaaaa123考虑整体的平衡，画受力图。
25、列方程考虑整体的平衡，画受力图。列方程0224PaaqaaFB,F0)(AM解出解出PqaFB41ADCBEPqaqaaaaxAFyAFBF123IICBEqaqaaBFxCFyCFF3II拆除拆除 C C 铰并做截面，铰并做截面，考虑右半部分的平考虑右半部分的平衡，画受力图。衡，画受力图。列方程列方程,F0)(CM0223aFaqaaFB解出解出)3(213PqaFF1F3F2D最后研究铰接点（节点）最后研究铰接点（节点）D，可得，可得)3(22231PqaFF)3(212PqaPF珩架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而珩架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状不变
26、。成的结构，它在受力以后几何形状不变。珩架结构的优点是：珩架结构的优点是：杆件主要承受拉力或压力，可以充分地发挥材料的性能，节约材料，减轻结构的重量。珩架结构在工程中得到了重要的应用。实体梁向珩架的演化实体梁向珩架的演化为什么珩架会节省材料？为什么珩架会节省材料？平面珩架：组成珩架的所有杆件都在同一平面内。节点：珩架中各杆件的接头。为简化珩架的计算，工程实际中采用以下的假设：（1）珩架的杆件都是直的；（2）杆件用光滑的铰链连接；（3）珩架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且 在珩架的平面内；隼接焊接铆接铰接（4）珩架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。理想珩架理想珩架将工程中的珩
27、架进行理想化的合理性：xAFyAFMAxBFyBFMB使两根梁的一端发生同样大小的位移，在细长梁上使两根梁的一端发生同样大小的位移，在细长梁上所施加的力偶矩和横向力比在短粗梁上要小得多。所施加的力偶矩和横向力比在短粗梁上要小得多。珩架结构的变形一般较小，其组成杆件一般为细长杆，故在各杆件在节点处所受到的约束反力以轴向的拉力或压力为主。横向力或力偶矩均较小，而可以略去。细长杆件中间受力便容易变形，载荷会向刚性较好 的 两端节点处分配。珩架的杆件均看成为只是两端受力作用的二力杆，珩架的杆件均看成为只是两端受力作用的二力杆，只受拉力或压力。只受拉力或压力。静定珩架：静定珩架：从珩架中任意除去一根杆件
28、，则珩架就会活动变形，这种珩架称为无余杆珩架。无余杆珩架是静定珩架。从珩架中任意除去某几根杆件，仍不会使珩架活动变形，这种珩架称为有余杆珩架。基本三角形平面简单珩架：平面简单珩架：以三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。珩架珩架空间珩架 平面珩架理想珩架有余杆珩架 无余杆珩架平面简单珩架计算珩架杆件内力的方法：节点法和截面法计算珩架杆件内力的方法：节点法和截面法节点法：节点法：珩架的每一个节点都受汇交力系的作用。为了求得每个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部的未知力（杆件的内力），这就是节点法。4 m4 m4 m4 mADCBPP例例4-18 一一 珩珩架，载荷
29、及尺架，载荷及尺寸如图所示，寸如图所示，P=100 kN，求，求各杆的内力。各杆的内力。FB解：研究整体平衡，求出约束反力。,00YX,F0)(BMxAFyAF0AxFkN100AyFkN100BF以下按以下按AECDF的顺序逐个节点进行求解。的顺序逐个节点进行求解。B4 m4 m4 m4 mADCPPFE187324659AxAFyAFF1F2F3F4EF1F2F2=141.4 kNF1=100 kNF3=100 kNF4=100 kNF5=100 kNF6=0 kNCF5F6F1F3PF5PDF7F8F4F7F9FF8FBBF9F7=100 kNF8=100 kNF9=141.4 kN校核
30、前面计算结果（1）杆的内力均设为拉力，如果所得的结果为负值，则在后面的计算中仍以负值代入。要点提示：要点提示：（2）杆的内力均设为拉力，如果所得的结果为正值，则说明杆的内力确为拉力；如果所得的结果为负值，则说明杆的内力实为压力。这样，由符号的正负便可知道内力的性质。这种不论实际内力的性质如何，均将其设为正值，称为设正法。FBxAFyAFB4 m4 m4 m4 mADCPPFE187324659F7=0F8=100 kNF9=141.4 kNF2=141.4 kNF1=100 kNF3=0F4=100 kNF5=100 kNF6=0AF1F2CF1F2F3BF1F2FF1=0零杆的特征零杆的特征
31、截面法：截面法：如只计算珩架内某几个杆件的内力，可以适当地选取一个截面，假象地把珩架截开，在考虑其中某一合适部分的平衡，求出这些被截杆件的内力，这种方法叫截面法。例例3-19 一一 珩珩架，载荷及尺架，载荷及尺寸如图所示，寸如图所示，P=100 kN，求，求1、2、3、4各杆的各杆的内力。内力。4 m4 m4 m4 mADCBPP3214,00YXBFBxAFyAF4 m4 m4 m4 mADCPPFE132F1F3F2解：（1）研究整体平衡，求出约束反力。,00YX,F0)(BM0AxFkN100AyFkN100BF（2）假想一截面，将珩架结构从杆1、2、3处截开。选取右侧部分为研究对象。,F0)(FMF1=100 kNF3=100 kNF2=0 kNBFDPFB4（3）最后研究节点D，即可解出4杆内力。F4=100 N（1）是否一定要从研究整体开始求解？（2）取一个截面，将1、2、3杆同时截开，可行吗？aaaaPBaaaaaaPA312F1F2F3BaaaaaaPA312CF1=P F2=P按同样的方法，从下一层再取截面，按同样的方法，从下一层再取截面，解出对应位置杆的内力之后，研究解出对应位置杆的内力之后，研究节点节点C，便可求出，便可求出3杆的内力。杆的内力。aaaaPF1F2F5F4CK形珩架的解法形珩架的解法
